Acest mod de gandire a fost finisat de Euclid in lucrarea Elementele, in care deduce toate rezultatele geometrice obtinute anterior de Scoala greaca pornind doar de la cinci axiome, adica afirmatii care se considera intotdeauna adevarate. Desi apar in momentul cand cultura greaca se afla in declin, nereusind s-o influenteze mai departe, cele doua lucrari formeaza nucleul logicii matematice moderne.

Incepand cu perioada de decadenta a culturii grecesti si pana in secolul 18, in matematica s-au cristalizat doua concepte fundamentale: simbol si functie. Pentru vechii greci, matematica era pur geometrica, adica, ceea ce numim azi ecuatie algebrica, de exemplu x²-5x+4=0, reprezenta o problema de geometrie. Numerele se scriau cu ajutorul literelor (MMX=2010 la romani), iar conceptul de zero nici nu exista. Abia in secolul 9, matematicianul arab Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (ca. 780--850) descopera regula conform careia prin adunarea/scaderea unei anumite valoari de ambele parti ale unei egalitati, nu se schimba valoarea de adevar a expresiei. In araba adunarea se numeste al jebr de unde si numele de algebra. Doar la final de secol 16 isi fac aparitia si simbolurile pentru plus (+), minus (-), putere, radical (v) si egalitate (=), ultimul fiind introdus de matematicianul englez R. Recorde (1510--1558). Conceptul de functie se cristalizeaza doar la finalul secolului 17, Leibniz (1646 -- 1716) fiind primul care o defineste, iar o jumatate de secol mai tarziu, Euler (1707 -- 1783) introduce notatia actuala a functiei, adica y=f(x).

Folosirea simbolurilor in matematica s-a dovedit a fi o sursa inepuizabila de descoperiri. In primul rand, simbolurile au permis o formulare mult mai usoara si compacta a rezultatelor. Formulele lui Viete (1540 -- 1603) referitoare la solutiile polinoamelor au fost scrise initial pe cateva pagini, pe cand azi se pot scrie pe cateva randuri. Daca pana la Descartes ecuatia de gradul doi era tratata in 12 cazuri separate, astazi se cunoaste o formulrare generala. Pe de alta parte, fara simboluri, descoperirea calculului infinitezimal n-ar fi imaginabila.

Dezvoltarea matematicii, de pana la mijlocul secolului 18, cauzata de simboluri si operarea cu ele, a readus matematicienii in situatia lui Euclid, adica la nevoia de sistematizare a noilor rezultate. Incepe astfel era axiomatizarii, care se va incheia la finele anilor 1920, principalul protagonist fiind matematicianul D. Hilbert (1862 -- 1943). Simpla axiomatizare nu s-a dovedit suficienta pentru a sistematiza rezultatele matematice, fiind nevoie si de notiuni mai clare care sa descrie obiectele matematice. Aceasta necesitate a fost subliniata de B. Russsell (1872 -- 1970) prin paradoxul sau. Originea paradoxului este definitia data de G. Cantor (1845 -- 1918) notiunii de multime matematica: multimea este o colectie de obiecte reale sau ale imaginatiei noastre. Notand cu R multimea tuturor multimilor care nu se contin pe ele insele, intrebarea lui Russell a fost daca R apartine sau nu lui R? Este evident ca R nu poate sa-si apartina siesi, deoarece ar fi o multime care se contine pe sine, deci in contradictie cu definitia lui R. Aceasta implica faptul ca R apartine lui R. Dar daca R apartine lui R atunci, conform definitiei lui R, R nu se contine si am ajuns la paradox. Pentru claritate, luam de exemplu multimea tuturor pisicilor. Evident ca aceasta multime nu se contine pe sine insasi, de vreme ce multimea nu este o pisica, dar multimea care este formata din toate obiectele care nu sunt pisici, se contine pe sine insasi.

Paradoxul lui Russell arata ca se pot construi afirmatii care nu au valoare de adevar, adica nu sunt nici adevarate nici false. Pentru a le evita, si o data cu ele si paradoxurile, oamenii de stiinta au hotarat sa opereze doar cu propozitii carora li se pot determina valoarile de adevar. In plus, se doreste sa se poata stabili reguli de operare cu propozitii, astfel incat propozitiilor rezulat sa li se poata atribui iarasi valori de adevar. Sa luam niste exemple:

A1: 1+1=2.

A2: Suma unghiurilor intr-un triungi este egala cu 180°.

A3: Soarele este o planeta.

A4: Afara ploua.

Primele doua afirmatii sunt adevarate intotdeauna, a 3-a este intotdeauna falsa, dar cum ramane cu ultima afirmatie? In cazul cand ploua, afirmatia A4 este adevarata, dar cand nu ploua, ea este falsa. Vedem astfel ca propozitia are valoare de adevar unica, dar care variaza. Matematicienilor insa, nu le plac astfel de afirmatii a caror valoare de adevar depinde de alte informatii, motiv pentru care au ales sa nu le foloseasca in deductiile logice. Un alt mod de a solutiona problema este de a adauga informatii afirmatiei A4, completand-o astfel incat sa aiba intotdeauna aceeasi valoare de adevar. Asadar, putem completa afirmatia A4 obtinand urmatoare propozitie adevarata

A4': In 22 noiembrie 2010 la ora 16:00 a plouat la Cluj-Napoca.

Acest mod de abordare a valorii de adevar a afirmatilor ajuta la clarificarea multor texte care par, la o prima vedere, paradoxale. Sa luam de exemplu, cunoscutul paradox al cretanului.

Daca ne concentram pe fiecare propozitie in parte observam ca, in cazul unui cretan, prima propozitie este adevarata, a doua fiind si ea adevarata, in cazul in care fiecare cretan a mintit macar o data (ceea ce este mai mult ca sigur). Luand insa propozitiile impreuna, ceea ce deducem din ele nu mai este concludent, deoarece minciuna din a doua propozitie infirma afirmatia din prima propozitie. Care este sursa incompatibilitatii dintre cele doua propozitii? Neclaritatea celei de a doua propozitii care, analog propozitiei A4, este adevarata in unele situatii si falsa in altele, fiindca nu mintim mereu. Cum ar trebui atunci completata propozitia a doua pentru ca afirmatia celor doua propozitii impreuna sa nu se mai contrazica? Deoarece modul cum putem completa propozitiile nu este unic, un exemplu de cum putem rescrie propozitia a doua ar fi:

Dar daca cineva ar insista ca minte intotdeauna? Forma extrema a paradoxului minciunii "Eu mint intotdeauna." indica o problema la nivelul de operare cu propozitiile, mai degraba decat la valoarea de adevar a propozitiei. Intrebarea pe care putem sa ne-o punem atunci cand analizam o astfel de afirmatie, este: de unde stie cineva care a mintit intotdeauna ce este o minciuna? Minciuna este o afirmatie care nu corespunde adevarului, dar fara a sti ce este adevarul nu putem sti daca mintim sau nu. Adica, putem spune intotdeauna adevarul fara sa stim ce este minciuna, dar nu putem minti fara sa stim ce este adevarul. A spune ca mintim intotdeauna anuleaza definitia minciunii, motiv pentru care afirmatia nu are sens.

sursa foto: utsc.utoronto.ca