Logica matematică își are originile în Grecia antică, în lucrările lui Aristotel și Euclid. În Organon, Aristotel a pus bazele logicii prin intermediul silogismelor, observând că o afirmație, concluzia, poate fi dedusă din alte afirmații, premise.

Acest mod de gândire a fost finisat de Euclid în lucrarea Elementele, în care deduce toate rezultatele geometrice obținute anterior de Școala greacă pornind doar de la cinci axiome, adică afirmații care se consideră întotdeauna adevărate. Deși apar în momentul când cultura greacă se afla în declin, nereușind s-o influențeze mai departe, cele două lucrări formează nucleul logicii matematice moderne.

Începând cu perioada de decadență a culturii grecești și până în secolul 18, în matematică s-au cristalizat două concepte fundamentale: simbol și funcție. Pentru vechii greci, matematica era pur geometrică, adică, ceea ce numim azi ecuație algebrică, de exemplu $x^2-5x+4=0$, reprezenta o problemă de geometrie. Numerele se scriau cu ajutorul literelor (MMX=2010 la romani), iar conceptul de zero nici nu exista. Abia în secolul 9, matematicianul arab Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (ca. 780–850) descoperă regula conform căreia prin adunarea/scăderea unei anumite valori de ambele părți ale unei egalități, nu se schimbă valoarea de adevăr a expresiei. În arabă adunarea se numește al jebr de unde și numele de algebră. Doar la final de secol 16 își fac apariția și simbolurile pentru plus (+), minus (-), putere, radical ($\sqrt{}$) și egalitate (=), ultimul fiind introdus de matematicianul englez R. Recorde (1510–1558). Conceptul de funcție se cristalizează doar la finalul secolului 17, Leibniz (1646–1716) fiind primul care o definește, iar o jumătate de secol mai târziu, Euler (1707–1783) introduce notația actuală a funcției, adică $y=f(x)$.

Folosirea simbolurilor în matematică s-a dovedit a fi o sursă inepuizabilă de descoperiri. În primul rând, simbolurile au permis o formulare mult mai ușoară și compactă a rezultatelor. Formulele lui Viète (1540–1603) referitoare la soluțiile polinoamelor au fost scrise inițial pe câteva pagini, pe când azi se pot scrie pe câteva rânduri. Dacă până la Descartes ecuația de gradul doi era tratată în 12 cazuri separate, astăzi se cunoaște o formulare generală. Pe de altă parte, fără simboluri, descoperirea calculului infinitezimal n-ar fi imaginabilă.

Dezvoltarea matematicii, de până la mijlocul secolului al XVIII-lea, cauzată de simboluri și de operarea cu ele, a readus matematicienii în situația lui Euclid, adică la nevoia de sistematizare a noilor rezultate. Începe astfel era axiomatizării, care se va încheia la finele anilor 1920, principalul protagonist fiind matematicianul D. Hilbert (1862–1943). Simpla axiomatizare nu s-a dovedit suficientă pentru a sistematiza rezultatele matematice, fiind nevoie și de noțiuni mai clare care să descrie obiectele matematice. Această necesitate a fost subliniată de B. Russell (1872–1970) prin paradoxul său. Originea paradoxului este definiția dată de G. Cantor (1845–1918) noțiunii de mulțime matematică: mulțimea este o colecție de obiecte reale sau imaginare. Notând cu R mulțimea tuturor mulțimilor care nu se conțin pe ele însele, întrebarea lui Russell a fost dacă R aparține sau nu lui R? Este evident că $R$ nu poate să-și aparțină sieși, deoarece ar fi o mulțime care se conține pe sine, deci în contradicție cu definiția lui $R$. Aceasta implică faptul că R aparține lui R. Dar dacă R aparține lui R atunci, conform definiției lui R , R nu se conține și am ajuns la paradox. Pentru claritate, luăm, de exemplu, mulțimea tuturor pisicilor. Evident că această mulțime nu se conține pe sine însăși, de vreme ce mulțimea nu este o pisică, dar mulțimea care este formată din toate obiectele care nu sunt pisici, se conține pe sine însăși.

Paradoxul lui Russell arată că se pot construi afirmații care nu au valoare de adevăr, adică nu sunt nici adevărate nici false. Pentru a le evita, și odată cu ele și paradoxurile, oamenii de știință au hotărât să opereze doar cu propoziții cărora li se pot determina valorile de adevăr. În plus, se dorește să se poată stabili reguli de operare cu propoziții, astfel încât propozițiilor rezultat să li se poată atribui iarăși valori de adevăr. Să luăm niște exemple:

A1: 1+1=2.

A2: Suma unghiurilor într-un triunghi este egală cu 180°.

A3: Soarele este o planetă.

A4: Afară plouă.

Primele două afirmații sunt adevărate întotdeauna, a 3-a este întotdeauna falsă, dar cum rămâne cu ultima afirmație? În cazul când plouă, afirmația A4 este adevărată, dar când nu plouă, ea este falsă. Vedem astfel că propoziția are valoare de adevăr unică, dar care variază. Matematicienilor însă nu le plac astfel de afirmații a căror valoare de adevăr depinde de alte informații, motiv pentru care au ales să nu le folosească în deducțiile logice. Un alt mod de a soluționa problema este de a adăuga informații afirmației A4, completând-o astfel încât să aibă întotdeauna aceeași valoare de adevăr. Așadar, putem completa afirmația A4 obținând următoarea propoziție adevărată:

A4′: În 22 noiembrie 2010 la ora 16:00 a plouat la Cluj-Napoca.

Acest mod de abordare a valorii de adevăr a afirmațiilor ajută la clarificarea multor texte care par, la o primă vedere, paradoxale. Să luăm de exemplu cunoscutul paradox al cretanului:

Eu sunt cretan. Toți cretanii sunt mincinoși.

Dacă ne concentrăm pe fiecare propoziție în parte observăm că, în cazul unui cretan, prima propoziție este adevărată, a doua fiind și ea adevărată, în cazul în care fiecare cretan a mințit măcar o dată (ceea ce este mai mult ca sigur). Luând însă propozițiile împreună, ceea ce deducem din ele nu mai este concludent, deoarece minciuna din a doua propoziție infirmă afirmația din prima propoziție. Care este sursa incompatibilității dintre cele două propoziții? Neclaritatea celei de a doua propoziții care, analog propoziției A4, este adevărată în unele situații și falsă în altele, fiindcă nu mințim mereu. Cum ar trebui atunci completată propoziția a doua pentru ca afirmația celor două propoziții împreună să nu se mai contrazică? Deoarece modul cum putem completa propozițiile nu este unic, un exemplu de cum putem rescrie propoziția a doua ar fi:

Eu sunt cretan. Toți cretanii mint când au nevoie.

Dar dacă cineva ar insista că minte întotdeauna? Forma extremă a paradoxului minciunii „Eu mint întotdeauna.” indică o problemă la nivelul de operare cu propozițiile, mai degrabă decât la valoarea de adevăr a propoziției. Întrebarea pe care putem să ne-o punem atunci când analizăm o astfel de afirmație este: de unde știe cineva care a mințit întotdeauna ce este o minciună? Minciuna este o afirmație care nu corespunde adevărului, dar fără a ști ce este adevărul nu putem ști dacă mințim sau nu. Adică, putem spune întotdeauna adevărul fără să știm ce este minciuna, dar nu putem minți fără să știm ce este adevărul. A spune că mințim întotdeauna anulează definiția minciunii, motiv pentru care afirmația nu are sens.

sursă stiinta.info // Valentin Curtef

foto: utsc.utoronto.ca