Etichetă: singuratate

In 1978, am editat la Klincksieck (Paris) lucrarea colectiva La sémiotique formelle du folklore; Approche linguistico-mathématique, care a trezit interesul Profesorului Pierre Maranda, directorul Departamentului de Antropologie culturala al Univesitatii Laval (Québec). Am fost invitat acolo cu un scop precis: sa reflectez asupra unei formule pe care o lansase Claude Lévi-Strauss in 1955, dar care isi pastrase de-a lungul anilor caracterul ei enigmatic. In trei ani succesivi, de fiecare data cate patru luni, am venit la aceasta Universitate, pentru a ma cufunda in cercetarea operei lui Lévi-Strauss. Formula sa avea aerul unui enunt matematic, dar aparenta era inselatoare. Intr-o terminologie teatrala, ea spunea, in esenta, ca un actor a in rolul x se afla fata de un alt actor b, aflat in rolul y, intr-o situatie asemanatoare celeia in care s-ar afla b in rolul x fata de rolul y, devenit actor interpret al unui rol a-1 obtinut prin inversarea actorului a. Se observa ca are loc o dubla rasucire, prima priveste transformarea rolului y in actor, iar a doua consta in transformarea, prin inversiune, a actorului a in rolul a—1. Timp de cateva decenii, nimeni nu a inteles nimic din acest enunt. Nici macar autorul acestei pretinse formule nu dadea impresia ca-si mai aduce aminte de ea. 

Dar anumite amintiri indemnau la precautie. Nici infinitii mici ai lui Leibniz nu au fost intelesi iar neintelegerea s-a risipit abia dupa vreo trei sute de ani, prin analiza non-standard a lui Abraham Robinson. Pe de alta parte, acum stim ca antropologul caruia ii vom marca centenarul

In acest an a devenit un termen de referinta pentru evolutia ideilor in secolul al XX-lea. In anii ’40, cand se afla in Statele Unite, i-a propus unui tanar matematician, André Weil (azi recunoscut drept unul din geniile matematice ale secolului trecut), o problema privind regulile de casatorie in societatile primitive. Raspunsul, sub forma unui articol de cateva pagini, a constituit nasterea unui nou domeniu: matematica relatiilor de rudenie. Lévi-Strauss a demonstrat ca, desi cultura sa matematica este saraca, poate chiar derizorie, potentialul matematic al ideilor sale este imens. Eram avertizat ca dispune de o extraordinara capacitate de a adresa intrebari esentiale. 

Literatura a aparut, in traditia occidentala, pe vremea lui Homer, deci cu cateva secole inaintea matematicii (Thales si Pitagora). Amandoua sunt, intr-un anume sens, fiice ale miturilor, de la care au preluat functia de simbolizare si situarea intr-un univers de fictiune, care mediaza relatia cu lumea reala. Intr-o etapa destul de tarzie a evolutiei lor, literatura mai intai, matematica ulterior, s-au prevalat de un alt aspect al miturilor: transgresarea a ceea ce numim azi logica traditionala, prin incalcarea unuia sau altuia dintre cele trei principii: de identitate, de necontradictie si cel al tertului inclus. Drept urmare, toate trei practica paradoxul, la diferite niveluri: sintactic, semantic sau pragmatic. O consecinta inevitabila a acestei situatii este conflictul cu intuitia curenta, decalajul dintre ceea ce este inteligibil si ceea ce este vizibil. Toate trei se afla sub semnul unor asteptari frustrate. Toate trei dezvolta un principiu de optimizare semiotica: maximum de gand in minimum de cuprindere (pentru a folosi o expresie a lui Dan Barbilian, in legatura cu Gauss). 

O alta trasatura comuna priveste principiul holographic: in anumite conditii, aspectul local, individual, poate da seama despre aspectul global. In mituri, exista o legatura stransa intre persoana si univers, intre anthropos si cosmos. In literatura, clipa poate da seama despre eternitate, un copac da seama despre toti copacii lumii. William Blake vede lumea intr-un graunte de nisip iar eternitatea intr-o ora. In matematica, putem deduce comportamentul global al unei functii analitice din comportamentul ei local. Asa s-a ajuns sa se enunte ipoteza structurii holografice a creierului uman si a universului.

O alta trasura comuna este prezenta elementului ludic; alta se refera la prezenta metaforei. Am mai putea vorbi despre prezenta infinitului si despre depasirea, intr-un fel sau altul, a cadrului Euclidian. Dar ne oprim aici. 

Iata deci un tablou mai putin, daca nu deloc cunoscut al matematicii. Desigur, dincolo de aceste analogii intre matematica, pe de o parte, mituri si literatura, pe de alta parte, putem dezvolta un intreg sir de deosebiri intre ele; dar aceste deosebiri nu pot fi intelese corect decat in contextul elementelor comune, esentiale pentru situarea istorica a matematicii ca fenomen de cultura.

Mai intai, urmarind firul dezvoltarii matematicii la vechii greci, constatam caracterul predominant spiritual al ei, vocatia contemplarii unor armonii de forme si arhetipuri. Inventarea teoremei este o achizitie spirituala care, numai ea singura, ar fi suficienta pentru a asigura prestigiul peste milenii al culturii vechilor greci. La Pitagora, matematica si muzica sunt inseparabile, amandoua raportate deopotriva la cosmos si la arhitectura spiritului uman. Numerele, intervalele muzicale si miscarea corpurilor ceresti conduc la ceea ce s-a numit muzica sferelor. Cele cinci tipuri de poliedre regulate puse in evidenta de Platon sunt entitati la fel de fundamentale ca dreapta, cercul, patratul si sfera, la Euclid, si fac parte din viziunea lui Platon asupra matematicii ca reprezentare a universului. Le gasim in mituri, in diferitele religii, in simbolismul artelor si in rezultatele fundamentale ale stiintei. Numarul prim, sirul lui Fibonacci, proportia de aur, ideile de grup, de multime ordonata, de spatiu topologic, banda lui Möbius, sticla lui Klein, notiunea de infinit mic, la Leibniz, si universul non-standard al lui Robinson rezuma structuri, prototipuri si procese sau comportamente cu valoare universala. De aceea pot aparea deopotriva in natura si in cultura, in stiinta si in arta, in natura inerta si in cea vie. Pentru cultura vechilor greci, Platon reprezinta cea mai inalta expresie a matematicii ca aspect fundamental al spiritului uman. Pentru Aristotel, discipolul lui Platon, matematica nu este o parte a stiintei si nu este subordonata acesteia; matematica se ocupa de obiecte al caror interes este de sine statator si care admit o motivare estetica.

Sf. Augustin (354-430) preluase de la Platon fascinatia pentru numere iar de la Euclid metoda de procedare axiomatic-deductiva. Aceasta metoda avea sa fie urmata de teologia catolica pana spre secolul al XVII-lea. Dar nu numai teologia, ci si alte discipline au urmat aceeasi cale; a se vedea Etica lui Spinoza(1632-1677) si mecanica newtoniana. Duns Scotus (secolul al XIII-lea) se ocupa de problema existentei si infinitatii lui Dumnezeu, folosind procedee care prefigureaza notiuni din ceea ce azi numim teoria multimilor ordonate. Nicolaus Cusanus (1401-1464) vede in matematica unicul mod de a ajunge la certitudine. Ca si Descartes, mai tarziu, Cusanus adopta ipoteza unui Univers indefinit (nu infinit). N. Copernic (1473-1543) propune, in lucrarea sa privind miscarile de revolutie ale sferelor ceresti (1540), un model matematic al heliocentrismului. Opera lui Copernic a ramas in primul rand pentru valoarea ei stiintifica, dar si calitatea ei literara este remarcabila; este un poem dedicat Soarelui si Cercului.

In perioada Renasterii (secolul al XV-lea) are loc o alianta fericita intre artele vizuale si matematica, prin nume ca Leonardo da Vinci, Bruneleschi, Alberti, Albrecht Dürer, Piero della Francesca si Bombelli. Se realizeaza astfel un progres substantial in intelegerea perspectivei (reprezentarea spatiului cu trei dimensiuni in cel cu doua dimensiuni).

Galileo Galilei (1564-1642), prin Il Saggiatore, Sidereus Nuncius si mai cu seama prin opera sa Dialog se inscrie in istorie drept unul dintre parintii stiintei moderne, prin recunoasterea rolului central al matematicii in intelegerea lumii. Dar, dupa cum au atras atentia Leopardi si Italo Calvino, prin aceleasi opere Galilei ramane si ca unul dintre marii scritori in proza ai Italiei. Un alt savant dublat de un scriitor este Johanes Kepler (1571-1630), care in Astronomia Nova (1609) face apel la cele cinci tipuri de poliedre ale lui Platon pentru a studia interactiunea dintre om si cosmos. Kepler demonstreaza ca traiectoriile planetelor nu sunt circulare, cum se credea, ci eliptice; sunt astfel aduse in atentie sectiunile conice ale lui Apollonios de Perga (262-180). Pasul urmator: Isaac Newton (1642-1727) descopera legea atractiei universale (1687).

René Descartes (1586-1650) preconizeaza o stiinta unificata, avand ca model matematica. Asemenea lui Galilei, Descartes crede ca matematica este cheia care deschide drumul spre o imagine globala, unificata si coerenta a lumii. Plecand de la matematica, Descartes s-a simtit proiectat in fizica, filozofie, psihologie, fiziologie si cosmologie, in toate acestea devenind un pionier. In Discurs asupra metodei, Descartes straluceste nu numai prin deductie filozofica, ci si prin aspectul literar.

In Convorbirile sale cu Eckermann, Goethe are unele reflectii privind matematica. Intr-una dintre ele, considera ca matematica este o arta care ar trebui sa se declare indepedenta de ceea ce ii este exterior, pentru a-si urma marele ei traseu spiritual, capabil sa cuprinda mai mult decat intelegerea lumii comensurabile si masurabile. Pe de alta parte, Kant considera ca matematica este o stiinta, dar o stiinta a spiritului (Geisteswissenschaft), ceea ce il apropie de pozitia lui Goethe, deoarece amandoi sunt de acord ca matematica nu-si are locul alaturi de stiintele naturii (Naturwissenschaften). Tot Kant considera ca partea cea mai profunda a matematicii este aceea care este cultivata ca fiind interesanta in sine, deci pentru propria ei placere.

Matematicianului nu-i poate ramane lipsit de interes faptul ca anumite situatii paradoxale, care au intrat in raza de preocupari a matematicii abia spre sfarsitul veacului al XIX-lea, au aparut mult mai devreme in literatura. De exemplu, in secolul al XVIII-lea, Lawrence Sterne, in Tristram Shandy, recurge la situatii autoreferentiale iar, in secolul al XIX-lea, Lewis Carroll se prevaleaza sistematic de paradoxuri in Alice in Wonderland si in Through the looking glass. Dar de aceasta data este vorba de un professor de matematica (Charles Dodgson, alt nume al lui Lewis Carroll); acesta este pasionat de jocul cu probleme de matematica si de logica, pe care le introduce intr-o forma paradoxala in literatura sa debordand de imaginatie. Intr-un fel, il putem considera pe Lewis Carroll ca un precursor al literaturii absurdului, deoarece ii introduce de multe ori pe cititori intr-o lume a haosului si a lipsei de sens.

In secolul al XIX-lea, George Boole este atras de problemele cunoasterii iar lucrarea sa devenita clasica se intituleaza Investigatii asupra legilor gandirii. Proiectul sau de articulare a logicii, algebrei, limbajului si gandirii era clar o incercare temerara de patrundere in arhitectura spiritului uman. Am aflat astfel ca o conditie necesara pentru realizarea corespondentei urmarite de Boole este natura binara a cadrului algebric considerat. Asa se face ca numele lui Boole a ramas in memoria colectiva a matematicienilor asociat cu binaritatea. Boole il continua pe Leibniz, de aceea Leibniz trebuie si el introdus in aceasta mare traditie spirituala a matematicii.

In Hard times (1854), Charles Dickens se foloseste de un studiu al lui Sissy Jupe privind proportiile, pentru a protesta contra entuziasmului unor contemporani ai sai pentru analiza aritmetica si statistica a conditiilor economice si sociale din industria engleza.

In secolul al XIX-lea, sub influenta geometriilor neeuclidiene, literatura a preluat unele preocupari privind lumile cu mai multe dimensiuni. In Flatland (1884), Edwin Abbott introduce un narator care traieste intr-un univers bidimensional. Apare o sfera si naratorul incearca sa-si convinga cetatenii de existenta celei de a treia dimensiuni, dar este arestat. Progresul nu este acceptat.

Matematicianul are nevoie de singuratate pentru a se proteja. Nu este vorba de linistea necesara oricarei activitati intelectuale, ci de faptul ca, preluand o anumita intrebare, el o transforma, pentru a-i da un sens. Autorul intrebarii, un inginer, un fizician, un economist, un lingvist sau altcineva, se simte de multe ori frustrat, el are impresia ca problema lui a fost inlocuita cu o alta. Dintr-o data, are loc o despartire de lume, se naste o suspiciune. De aici si gluma conform careia un matematician iti rezolva orice problema…, in afara de aceea care te intereseaza. Sa-l citam, intr-o traducere aproximativa, pe Goethe (tot din Convorbirile cu Eckermann): “Matematicienii sunt ca francezii; le propui o problema, ei o trec pe limba lor si mai departe nu mai intelegi nimic”. De aici, s-a dedus uneori ca Goethe nu-i agrea pe matematicieni. Este insa mai potrivit sa credem ca autorul lui Faust avea o profunda intelegere a naturii activitatii matematice, in care se manifesta un mod specific de a distinge un enunt cu sens de unul fara sens si o perceptie speciala a demarcatiei dintre claritate si obscuritate. Mai este apoi faptul ca, instinctiv, matematicianul cauta sa se foloseasca de acele parti ale matematicii care-i sunt familiare, deci modul de a da un sens unei intrebari depinde si de tipul culturii sale matematice. Structurile, formele, tiparele, formatiunile matematice de orice fel se imbogatesc mereu si sunt apte, prin generalitatea si varietatea lor, de a gazdui idei dintre cele mai diverse; iar, daca imaginatia sa este suficient de bogata, el va imbogati repertoriul existent cu formatiuni noi.

Dar, concomitent cu singuratatea care-l are pe el ca autor, matematicianul traieste singuratatea pe care matematica o resimte in viata sociala. Incepand cu anii de gimnaziu, cei mai multi elevi resping ceea ce li se propune sub eticheta matematicii, ramanand pe viata marcati de aceasta experienta negativa. Daca se mai intalnesc cu ea, in studentie sau profesie, este vorba de aspectul unealta, sub forma unui algoritm, a unei formule, a unei reprezentari grafice de care se prevaleaza la un anumit moment, intr-un itinerar care, in ansamblu, nu este de natura matematica. intr-un caz mai fericit, dar destul de rar, apare nevoia de a face apel la matematica-limbaj, deci nu numai la o utilizare locala, ci la una care angajeaza, pe un intreg parcurs, folosirea limbajului matematic, daca nu in toate cele 9 componente ale sale, macar cu o parte a lor. Pariul educatiei matematice se refera la faptul ca modul de gandire pe care-l ofera aceasta disciplina are o valoare universala, deci este folositor in orice alta disciplina si in orice domeniu al vietii. In momentul de fata, ne aflam la o distanta astronomica de implinirea acestui deziderat. Concludent este si faptul ca, ajunsi la varsta a treia, cei mai multi nu-si amintesc din matematica nicio idee, niciun fapt cu semnificatie culturala; numai unele cuvinte-sperietoare, ca logaritm, sinus sau radacina patrata, le mai apar in memorie, ca un vis urat. Izolarea sociala si culturala a matematicii este grava.

La ora pasilor peste granite

Matematica este aruncata in derizoriu de modul in care se face educatia ei si de perceptia ei publica. Faptul acesta iese in relief de indata ce, prin contrast, luam in considerare complexitatea culturala si datele istorice privind potentialul spiritual al matematicii, pe care ne-am straduit sa le configuram. Ele ne ajuta sa intelegem de unde anume vin bogatia intelectuala, forta artistica; universalitatea in cuprindere si capacitatea de seductie a matematicii, atunci cand aceasta ramane autentica si nu inlocuita cu o caricatura a ei.

Deocamdata insa, toate aceste comori raman ascunse, chiar inexistente, in educatie, in perceptia publica, in cultura, in orizontul celor mai multi intelectuali. Nici macar cei care, prin profesie, au contact cu partea instrumentala a matematicii (fizicieni, ingineri, economisti etc.), de cele mai multe ori nu ajung la aerul tare al marilor spectacole pe care le ofera matematica. Asa cum am incercat sa aratam, limbajul nu este decat unul dintre multele aspecte ale matematicii, dar si acest aspect este sesizat numai prin cateva dintre numeroasele sale componente si functii. 

Ce s-a preferat, in schimbul celor de mai sus? S-a restrans educatia matematica la o asa zisa functie utilitara, inteleasa ca un ansamblu de procedee de operare, care ar avea legatura cu problemele practice si cu celelalte discipline. Realitatea este insa alta. Metabolismul matematicii cu celelalte domenii este aproape inexistent in educatie iar viata cotidiana nu de formule are nevoie , ci de deprinderi de gandire in etape, pe care matematica ni le inoculeaza; cand, totusi, prin aplicarea unei simple formule invatate la scoala, jucatorii la loterie si-ar putea evalua sansele de castig, se constata ca cei mai multi nici macar nu-si amintesc de existenta ei. 

Matematica isi extrage probleme de peste tot. Am putea chiar spune ca cele mai interesante aspecte sunt cele care apar la interfata matematicii cu restul lumii. Spre aceasta zona mi-am orientat o buna parte din cercetari. Am dat exemplul formulei canonice a mitului. In ultimii 30 de ani, de cand autorul ei a revenit la ea, accentuandu-i relevanta, faptul ca ea se afla in raport cu miturile intr-o relatie asemanatoare celeia in care miturile se afla in raport cu viata, cercetarea formulei respective s-a intensificat si cateva sinteze dau seama despre aceste cautari. Punctul de vedere al matematicii nu a lipsit, mergand de la logica si algebra la matematica morfogenezei, a lui René Thom. Dar in ce a constat aici rolul matematicii? S-au propus lumi alternative, coerente, in cadrul carora intuitiile lui Lévi-Strauss capata un statut conceptual. Nu atat despre teoreme este vorba, ci de metafore matematice a caror relevanta antropologica va fi pusa mereu in discutie. Matematica se afla la ora pasilor peste granite, la care se raporta Werner Heisenberg, intr-o celebra carte a sa.

Daca aventura lingvistica a matematicii avea predecesori ilustri, de la Newton si Leibniz la Kolmogorov si Dobrushin; daca asocierea ei cu arta s-a aflat in atentia lui G.D. Birkhoff, A.N. Kolmogorov si H.S.M. Coxeter (pentru a ne referi la secolul al XX-lea); daca imixtiunea matematicii in antropologie il avea ca initiator pe unul dintre cei mai importanti matematicieni ai secolului al XX-lea, André Weil, noul domeniu, semiotica, spre care aveam sa ma indrept in anii ’70 ai secolului trecut, purta girul celui mai important matematician american al secolului al XIX-lea, Charles Sanders Peirce. Este vorba de un punct de vedere care-si are originea la vechii greci, trece prin teologia catolica a Evului mediu si se regaseste la Leibniz, pentru a schita o mica parte din itinerarul acestei discipline a modului de generare si transformare a semnelor. intre matematica si semiotica legatura este atat de naturala, incat apare tentatia de a o considera pe prima drept o ramura a celei de a doua. Cu toate acestea, in mod paradoxal, la inceputul anilor ’70 ai secolului trecut, cand semiotica a capatat o baza institutionala, nu matematicienii, ci lingvistii, literatii si artistii au fost cei mai activi in promovarea studiilor de semiotica. Ulterior au aparut si biologii, informaticienii, matematicienii etc. Dar, ca urmare a activitatii mele anterioare in lingvistica, am trecut usor la noua orientare iar Umberto Eco m-a invitat ca raportor la Primul Congres al Asociatiei Mondiale de Semiotica, pe care-l organiza in 1974, la Milano. Semiotica s-a dovedit a fi liantul de care aveam nevoie pentru a facilita legatura dintre ideile matematice, pe de o parte, si problemele provenite din biologie, informatica, psihologie, literatura, economie, lingvistica, istorie, relatii internationale etc., pe de alta parte. Un moment important, in aceasta directie, a fost Seminarul combinat de matematica, genetica moleculara, lingvistica si informatica pe care l-am organizat la Institutul de lingvistica al Americii (Buffalo, New York, 1971). 

Numai cativa ani mai tarziu, in 1976, am devenit seful echipei Universitatii din Bucuresti in cadrul Proiectului Universitatii Natiunilor Unite (Tokio) Obiective, procese si indicatori de dezvoltare. Dialogul cu specialisti din alte domenii, din cateva zeci de tari, pe care mi l-a prilejuit, timp de vreo sapte ani, acest experiment a avut un rol decisiv in antrenamentul meu transdisciplinar iar in anii ’80 intreaga cunoastere imi aparea unitara si devenisem foarte constient de daunele lipsei de comunicare dintre discipline.. Dar sa nu uitam ca inca in prima jumatate a secolului trecut ideea unei unificari a cunoasterii revenise puternic, dominand preocuparile Cercului din Viena; Rudolf Carnap sustinea ca nu exista decat o singura stiinta.

Mi s-a configurat astfel capacitatea matematicii de a fi un catalizator al transferurilor de idei, concepte si rezultate intre domenii dintre cele mai diferite. Nu cumva tocmai izolarea la care este condamnata ii confera matematicii universalitatea pe care nimeni nu i-o poate contesta?

Am cautat departe, in trecut, radacinile acestei situatii. L-am evocat, in aceasta privinta, pe revizorul scolar Eminescu. Cateva decenii mai tarziu, iata cum incepe discursul de receptie al lui Gheorghe Titeica la Academia Romana, la 29 mai 1914:

“Ma gasesc printre d-voastra ca reprezentantul unei stiinte pe care, cei mai multi, o socotesc mohorata, pentru care lumea are o deosebita groaza, fata de care chiar respectul unora nu e lipsit de un fior care tine pe om la departare; in scurt, reprezint o stiinta putin simpatica: matematica”. Fata de singuratatea in care se afla Titeica in urma cu aproape o suta de ani, s-a schimbat ceva esential in starea de singuratate a matematicianului? S-a schimbat, da, in sensul agravarii situatiei, ca urmare a faptului ca limbajul matematic a devenit tot mai complicat si , vorba filozofului francez Michel Henry, constituie o forma de barbarie (La barbarie, Grasset, Paris, 1987), capatand un caracter antiuman. Se ralia astfel filozofului englez George Steiner, care in Language and silence (Atheneum, New York, 1967) pleda pentru un punct de vedere similar. Titeica merge mai departe si, parca anticipand reprosul care avea sa fie adus matematicii si care fusese adus stiintei inca din secolul al XIX-lea, de a fi fara patrie, isi continua discursul in modul urmator:

“Stiinta matematica nu e legata de niciunul din resorturile noastre sufletesti care s-o faca iubita. Istoria, cu scrutarea si reinvierea trecutului, literatura, cu bogatia de inchipuire si stralucirea de expresii, geologia, chimia, biologia cu problemele lor de interes practic si national n-au nevoie sa-si dovedeasca foloasele. Fiecare din reprezentantii lor aici infatiseaza cate o bogatie a tarii: bogatie de gandire, bogatie de simtire, bogatie de energii. Singura matematica nu are si nici nu poate avea o insemnatate nationala”.

Titeica il evoca si pe Schopenhauer, a carui parere nu prea favorabila despre matematica si despre matematicieni este bine cunoscuta.

Cu aceasta stare de spirit, Titeica aproape ca adopta rolul de inculpat care trebuie sa se apere in fata tribunalului academic impotriva acuzatiei de parazitism social. O face, aducand probe in sensul ca “astazi se poate dovedi cu argumente hotaratoare ca stiinta matematica nu e cu totul nefolositoare”. Urmeaza exemple din stiinta galileo-newtoniana; dar ramane modest in ceea ce priveste statutul matematicii: “Matematica este, astfel, nu numai o limba precisa, de exprimare simpla, dar si o unealta de cercetare”; …”matematica este cea mai perfecta limba in care se poate povesti un fenomen natural”. 

Iata in ce situatie umilitoare s-a putut afla unul din marile spirite ale acestei tari, intr-o societate victima a propriului ei esec in domeniul educational. Sunt aproape o suta ani de atunci si, iata, statutul social al matematicii ramane la fel de contradictoriu. Desigur, veti spune, Titeica era foarte respectat iar postura de inculpat in care s-a plasat era efectul unui anumit scenariu pe care si-a bazat discursul de receptie. Numai ca respectul de care beneficiaza matematicienii nu este atat expresia intelegerii semnificatiei si valorii culturale a profesiei lor, cat a consideratiei fata de un lucru banuit a presupune un efort intelectual major, din moment ce ramane pentru cei mai multi neinteles. Numai ca acest fel de respect poate oricand aluneca in suspiciune si neincredere.

Intr-o convorbire cu Grigore Moisil, la Senatul Universitatii din Bucuresti, Iorgu Iordan reprosa doua lucruri matematicienilor: ca se lauda prea mult intre ei si ca nimeni nu intelege ce fac ei. Dar de la suspiciune la contestare nu-i decat un pas; in 1954, o personalitate de subtilitatea lui Mihai Ralea acuza psihologia matematica, aflata la primii ei pasi in S.U.A., de a fi “un refugiu pentru conceptiile idealiste in psihologie”. Iata cum de la o atitudine aparent inocenta se poate ajunge la respingerea unui intreg capitol al stiintei, cu un impact major in disciplinele cognitive actuale; un capitol in care scoala romaneasca de teoria probabilitatilor, de la Onicescu si Mihoc la Marius Iosifescu si Radu Theodorescu, s-a afirmat in mod exemplar.

Matematica, mijloc de manipulare a maselor, a fost si ramane un slogan scos din cand in cand la suprafata, uneori cu scopuri ideologice, alteori din adversitate fata de cultura stiintifica si tehnologica, de care matematica este in mod traditional lipita.

Instinctiv, izolarea intelectuala si sociala a matematicii, atat de ferm exprimata de Titeica in 1914, am simtit-o tot timpul si a fost pentru mine un impuls de a o compensa prin extinderea razei mele de actiune. Inca din anii ’50 primisem un avertisment: alianta dintre matematica si lingvistica era, sub aspect istoric, asociata cu emergenta calculatoarelor electronice, a informaticii si a nevoii sociale privind marirea eficientei in procesarea limbajului natural. De la revistele de matematica si de lingvistica treceam treptat la cele de cibernetica si de informatica. In 1963, publicam la Moscova, in Problemy Kibernetiki un articol de modelare matematica a unor fenomene morfologice; in aceeasi perioada, publicam un articol despre proiectivitatea sintactica in revista Computational Linguistics initiata de Ferenc Kiefer la Budapesta; aceasta revista a avut o viata scurta, dar a fost una dintre primele cu acest profil. In 1967, prezentam la Grenoble o comunicare invitata la A doua Conferinta Internationala privind procesarea automata a limbilor, iar doi ani mai tarziu eram invitat la Stockholm, de catre Hans Karlgren (Research Group for Quantitative Linguistics) la ceea ce el a numit International Conference on Computational Linguistics. Era de fapt continuarea celeia de la Grenoble, dar inaugura denumirea de Computational Linguistics, care avea sa faca istorie; ea avea sa se impuna, rezistand pana in zilele noatre. Observati folosirea alternativa a epitetelor quantitative si computational, simptomatica pentru acel moment inca derutant al lansarii unor noi arii de investigatie.

Comunicarea mea din Suedia se intitula Contextual grammars. In 2009, se vor implini 40 de ani de la prezentarea acestui nou tip de gramatici, care ocupa acum o literatura destul de vasta. Cele mai multe contributii se inscriu in domeniul informaticii teoretice, la capitolul de teoria limbajelor formale, dar in ultimii zece ani s-au cristalizat variante de gramatici contextuale cu impact in domeniul lingvisticii computationale, cum se poate vedea in articolele publicate in Computational Linguistics (1998) si Linguistics and Philosophy (2001), doua dintre cele mai prestigioase reviste in materie. Pe unii ii mira poate denumirea acestei din urma reviste. Dar, asa cum observa Moisil, nici filozofia nu mai este azi ceea ce a fost ea alta data; drumul de la filozofie la inginerie nu mai are nevoie de intermediari. S-a scurtat si drumul de la stiinta la inginerie. Granitele considerate pana mai ieri de netrecut sunt azi sub semnul intrebarii. In 1997, Gheorghe Paun a publicat la Kluwer monografia de sinteza Marcus Contextual Grammars, dar dupa publicarea ei s-a acumulat o literatura atat de vasta in aceasta directie, incat acum ar fi nevoie de o noua sinteza.

Iata cum o idee nascuta din nevoia de a da o varianta generativa unor procedee analitice folosite in lingvistica descriptiva americana se intoarce acum la studiul limbajului natural, in perspectiva matematica si computationala, dupa un itinerar de cateva decenii in informatica teoretica.

Cateva intamplari, spre mijlocul anilor ’60 ai secolului trecut, m-au condus la problemele de poetica matematica, o alta sintagma aparent oximoronica, expresie a unui alt proiect aparent utopic. Caietele mele de note de lectura si de insemnari personale erau de mai multi ani foarte bogate la acest capitol, dar nu se vedea modul de a organiza puzderia de observatii disparate. Au intervenit insa, prin anii 1963-1965, trei evenimente care m-au ajutat sa dau expresie framantarilor mele.

Mai intai, dintr-un articol amplu publicat in Le Monde am aflat despre moartea lui Matila C. Ghyka, roman stabilit in Occident, eminent cercetator al ritmului si al aspectelor matematice ale artei, autor a doua volume consacrate numarului de aur in biologie si in artele vizuale. Am aflat deci despre o personalitate atat de puternica exact atunci cand ea a murit. Apoi, cam in aceeasi perioada, Profesorul Constantin Dramba ma invita la biroul sau de la Observatorul Astronomic, pentru a-mi arata niste documente. Asa am aflat despre Pius Servien (fiul astronomului Nicolae Coculescu), ale carui carti publicate la Paris in anii treizeci ai secolului trecut au contribuit, concomitent cu cele ale lui Ghyka, la nasterea esteticii matematice, ale carei baze le pusese George D. Birkhoff cu cativa ani mai devreme. In sfarsit, parca in complicitate cu celelalte doua intamplari, Profesorul Octav Onicescu ma invita sa studiez relevanta poetica a notiunii de energie informationala, pe care tocmai o introdusese intr-un articol din Comptes Rendus de L’Académie des Sciences (Paris). Contactul cu opera lui Birkhoff, Ghyka si Servien a fost decisiv. Am reactionat imediat la mesajul lor si am simtit nevoia de a-l duce mai departe. Aveam impresia ca-i purtam de mult in mine si ca a sosit momentul de a intra in scena si a-mi juca rolul. Notorietatea de care beneficiam de pe urma lingvisticii matematice m-a ajutat sa-mi plasez usor ideile privind contrastul dintre limbajul stiintific si cel liric. Roland Barthes imi ceruse o colaborare pe aceasta tema, pentru un numar special din revista Langages, pe care-l edita la Paris.

In 1970, public Poetica matematica. De aceasta data, “scandalul” l-a intrecut pe cel anterior, de la aparitia Lingvisticii matematice, fapt firesc, deoarece poetica este mult mai populara decat lingvistica. Acest experiment in testarea reactiilor fata de o posibila relevanta a matematicii in teritorii ale artei a aratat unde anume este principala rezistenta: matematicii i se recunoaste capacitatea de a aprofunda structurile prozodice ale versului, aspectele structurale, formale ale figurilor retorice, aspectele tipologice ale narativitatii, tipurile de geometrie teatrala, dar i se refuza o eventuala pretentie de a facilita accesul la inefabilul poetic sau de a furniza criterii de evaluare a calitatii artistice a unui poem. Dar G.D Birkhoff tocmai acest lucru il preconiza: un mod matematic de a aprecia placerea estetica pe care o genereaza obiect. El porneste de la figuri geometrice dintre cele mai simple si de la piese muzicale dintre cele mai simple si propune procedee de apreciere a gradului lor O de ordine si a gradului lor C de complexitate. Apoi lanseaza ipoteza conform careia placerea estetica produsa de obiectele respective ar fi proportionala cu O si invers proportionala cu C. Ideile sale au fost suficient de provocatoare pentru a constitui obiectul unei prezentari invitate la Congresul International al Matematicienilor, din 1928. Experimentul si ipoteza lui Birkhoff trebuie intelese ca o lucrare de laborator privind psihologia creatiei artistice. Ulterior, ideile sale aveau sa fie exprimate si discutate in termeni de teoria matematica a informatiei, in cadrul scolii germane a lui Max Bense. Pe de alta parte, tentativa de a aprecia comparativ valoarea estetica reapare in creatia lui M.C. Escher, in cadrul colaborarii sale cu geometrul H.S.M. Coxeter, criteriile fiind si aici bazate pe ordine si pe complexitate.

Era inevitabil ca din toata aceasta poveste sa izbucneasca un mare scandal. Ceea ce la autorii de mai sus are un caracter ipotetic, de experiment local, capata in ochii unora proportiile unei blasfemii. Era respinsa tentativa de “a pune arta in ecuatii si in formule”; la aceasta se reducea, pentru unii, actiunea de a da un sens sintagmei poetica matematica. Dar ar fi nedrept sa omitem faptul ca destule spirite luminate din domeniul umanist au reactionat intr-un mod nuantat si, de multe ori, interesant. in cele cateva zeci de recenzii ale cartii mele, aprecierile au mers de la negare ferma, dar cu argumente trimitand la autorii latini – din partea specialistului in retorica Vasile Florescu, pana la entuziasmul debordant al lui Jean-Marie Klinckenberg (Grupul de retorica de la Liège), care vedea in poetica matematica o etapa superioara in intelegerea poeziei. Intre aceste extreme, s-au plasat multi dintre cei mai buni scriitori, critici, esteticieni ai acelui moment. Poetii sunt foarte deschisi fata de alaturarile inedite de termeni, sunt gata sa le accepte si sa le caute posibile semnificatii, dar, in aceasta cautare, ei isi dezvaluie, inevitabil, prejudecatile acumulate in legatura cu matematica. Pe de alta parte, in felul in care cei de formatie umanista m-au recenzat s-a putut deslusi modul in care ei presupun ca o formatie matematica ar putea fi o piedica in calea unei intelegeri autentice a poeziei. Replica poetului Nichita Stanescu, intr-o poezie pe care mi-a dedicat-o, este semnificativa: “Matematica s-o fi scriind cu cifre/ dar poezia nu se scrie cu cuvinte”. Dar este bine cunoscuta replica data de un important poet francez, unui interlocutor care se plangea ca nu scrie poezie deoarece nu are idei: Poezia nu se face cu idei, ea are nevoie de cuvinte. Cine are dreptate? Pentru a intelege ce a vrut sa spuna Nichita in versurile de mai sus, scrise in 1970, trebuie sa mergi la Necuvintele sale din 1969 si la volumul de poetica Respirari, din 1982.

La fel in poezie, dar din cu totul alt motiv

Sa precizam ca dependenta de contexte mari, practic, de intregul text, are loc in ambele directii, deci atat la stanga cat si la dreapta. Asa cum un element al textului depinde strict, chiar daca indirect, de intreaga desfasurare anterioara a textului respectiv, acelasi element va fi invocat, direct sau indirect, in intreaga desfasurare ulterioara a textului. Limbajul matematic este deci, prin excelenta, un teritoriu de desfasurare permanenta a relatiilor anaforice si cataforice.

Este interesant faptul ca si in poezie localul este solidar cu globalul, se vorbeste chiar despre modul in care o serie de metafore locale se acumuleaza, producand o metafora globala. Dar aceasta dependenta nu are, in poezie, caracterul precis si explicit pe care il are in matematica. Legatura dintre local si global este, in poezie, o operatie ambigua, interpretabila intr-o infinitate de feluri; ea tine deci de actul lecturii si al interpretarii, apartine cititorului. Semnificatiile in matematica au un statut conceptual iar conceptele sunt susceptibile de definitii. Acest fapt le distinge de semnificatiile poetice, care manifesta o tendinta anticonceptuala. Poezia incearca sa recupereze cu ajutorul contextului ceea ce pierde in materie de dictionar. De aceea ea are nevoie de contexte practic infinite, regasind astfel, pe o cale complet diferita, o situatie valabila si in matematica.

Numai ca, in practica, se constata ca semnificatiile matematice nu sunt epuizate de

definitiile lor de dictionar; comportamentul lor contextual rezerva surprize. Faptul acesta este valabil chiar in matematica elementara. Incercati sa-l intelegeti pe zero numai pe baza definitiei sale si veti esua. In legatura cu capcanele acestui numar, considerat uneori, in mod abuziv, numar natural, a se vedea cartea lui Charles Seife, tradusa recent in romaneste: Zero. Biografia unei idei periculoase (Humanitas, 2007). Multe semnificatii din matematica si din lingvistica (a se vedea sistemele formale, gramaticile generative si diferite tipuri de masini) se introduc nu prin definitii de tip clasic (gen proxim si diferenta specifica), ci prin comportamentul lor intr-un anumit proces, comportament de natura contextuala. Aceasta interactiune textuala este un fel de dialog, de aceea Bakhtin a folosit expresia de principiu dialogic.

Textul matematic este, pe de alta parte, prin excelenta polifonic (pentru a folosi termenul propus de Bakhtin) Asa cum in muzica se suprapun doua sau mai multe parti vocale sau instrumentale, dezvoltandu-se orizontal (prin contrapunct) si vertical (prin armonie), intr-un text matematic are loc o colaborare a unor coduri de o mare varietate, date de multiplicitatea componentelor si functiilor sale, unele cu accent pe secventialitate, altele bazate pe transgresarea ei; unele metaforice, altele metonimice; unele continue, altele discrete; unele vizuale, altul sonor. In aceasta ordine de idei, Igor Shafarevich asimileaza matematica unei orchestre care executa o partitura unica, a nu se stie cui; unii membri ai orchestrei dispar, fiind inlocuiti cu altii, dar motivele trec de la unii la altii iar executia nu se incheie niciodata. Cu referire la acelasi aspect al multiplicitatii de coduri puse in miscare, a fost preluata, in cazul limbajului matematic, ideea cinematografica a lui Eisenstein privind montajul vertical. in ambele cazuri, are loc o articulare de elemente indexicale, iconice si conventionale, avand ca rezultat reliefarea unei teme unice.

Cele mai multe numere reale nu pot fi numite prin mijloace finite. Uneori pot fi aratate, indicate, de exemplu pe cele care sunt limite ale unor siruri despre care se stie ca sunt convergente sau, in general, pe cele care apar ca rezultat al diferitelor comportamente asimptotice. Celor mai multe numere reale nu le stim nici reprezentarea zecimala, nici reprezentarea in fractie continua. Traiesc in devalmasie, parca lipite unul de altul Cele mai multe informatii despre numere sunt de natura globala, nu individuala. Dificultatea cu care au putut fi gasite, abia in anul 1844, primele exemple de numere transcendente (Joseph Liouville) a dat impresia ca astfel de numere sunt rare. Dar G. Cantor a spulberat aceasta impresie. S-a constatat in general, ca lumea numerelor inteligibile este incomparabil mai vasta decat aceea a numerelor care rezulta prin procese cu un numar finit de etape, aplicate numerelor intregi. Dar sensul cuvintelor “cele mai multe” in aprecierile de mai sus nu este cel trivial, de majoritate numerica, deoarece avem a face cu multimi infinite. Neglijabilul este aici in sensul cardinalitatii: numerele algebrice formeaza o multime numarabila.

Culorile urmeaza indeaproape situatia semiotica a numerelor. In orice limba naturala, cele mai multe culori nu au nume. Dar, in contrast cu numerele, culorile beneficiaza de anumite relatii de analogie si de contiguitate, putand lua numele obiectelor care au culoarea respectiva: caramiziu, portocaliu, mustar etc. Desigur, acest procedeu nu rezolva decat o mica parte a problemei. Curcubeul comporta o infinitate de culori, cele mai multe dintre ele neputand fi numite. Pe de alta parte, problema semiotica a culorilor este reductibila la aceea a numerelor. Vopselele au coduri combinate de litere si cifre. Numerele reale sunt, in general, cunoscute prin valori aproximative, deci prin procese metonimice.

Disocierea, in franceza, intre nombre si numéro; in germana, intre Zahl si Nummer; in rusa, intre cislo si nomer, nu-si are analogul in romana, italiana, spaniola, portugheza si engleza. Nombre din nombre premier si numéro din numéro de sécurité sociale revin, in limba romana, la acelasi cuvant: numar. Limba romana face insa distinctia dintre a numara si a numerota.

Paradoxul lui Berry se refera la nombre; paradoxul lui Richard se refera la numéros; numeratia Gödel se refera la amandoua. 

Limbajul este partea cea mai vizibila a matematicii, partea care o tradeaza, starnind admiratia unora si repulsia altora. Rareori se intampla ca matematica sa fie privita cu indiferenta; atitudinea neutra fata de ea este mult mai putin frecventa decat atitudinea extrema, intr-un sens sau altul. Datele de care dispunem arata ca detractorii sunt incomparabil mai multi decat admiratorii. Anchetele sociologice, semnalelele din mass media, declaratiile elevilor si profesorilor confirma antipatia celor mai multi pentru formule matematice, pentru ecuatii, pentru calcule. Usurinta de a recunoaste jargonul matematicii contrasteaza cu dificultatea de a defini matematica, dificultate cu nimic inferioara celeia privind definirea poeziei sau a filozofiei. Putem insa identifica diferite ipostaze, diferite aspecte ale matematicii: 

a) domeniu de cunoastere si cercetare;

b) fenomen de cultura;

c) stiinta;

d) arta;

e) unealta utila in anumite situatii;

f ) limbaj;

g) mod de gandire;

h) catalizator al unor transferuri de idei, metode si rezultate;

i) disciplina predata in scoli si universitati;

j) fenomen social;

k) joc;

m) moda;

n) mijloc de intimidare si chiar de terorizare;

o) forma de snobism;

p) posibila forma de patologie;

q) mod de a intelege lumea;

r) mod de viata;

s) mod de a intelege propria noastra minte;

t) parte a vietii noastre spirituale;

u) filozofie.

Ordinea nu este dupa importanta. Lista este deschisa.

Fiecare dintre aspectele de mai sus comporta o intreaga discutie. Ingrijorator este faptul ca aspectul i, al matematicii ca disciplina de invatamant, este aproape in intregime confiscat, la nivel scolar, de aspectul e, care vizeaza partea instrumentala a matematicii, iar la nivel universitar apar, in plus, aspectele a (cunoastere si cercetare), c (stiinta) si f (limbaj). Dar chiar si acestea sunt de obicei considerabil saracite; de exemplu, rareori se intampla ca predarea matematicii sa dezvaluie intreaga bogatie a aspectelor de limbaj, asa cum apar ele in multiplicitatea de componente si de functii pe care le-am discutat anterior, in interactiunea componentei naturale cu cea artificiala, a secventialului cu polidimensionalul, a discretului cu continuul. Desigur, in masura in care participantii la procesul didactic sunt de o calitate superioara, pot aparea si celelalte aspecte. Fapt este ca manualele standard dupa care matematica este predata si invatata si, mai ales, criteriile dupa care asimilarea ei este evaluata o transforma intr-o palida imagine a ceea ce este ea in realitate.

Recunoscuta ca unealta uneori utila, matematica era inca departe de a fi si un fapt de cultura. Ciocanul este si el o unealta utila; devine, prin aceasta, cultura? Educatia primita in scoala si, uneori, si cea de la facultate nu prea lasa sa se vada ca in matematica exista si idei, istorie, conflicte, interactiuni cu alte discipline, dileme privind formarea conceptelor si alegerea problemelor. Din variatele moduri de gandire matematica (inductiva, deductiva, abductiva, triadica, binara, analogica, metaforica, ipotetica, infinita, combinatorica, probabilista, recursiva, topologica, algoritmica, imaginativa etc.), inzestrate cu puterea de a functiona si in afara matematicii, practic avand o raza universala de actiune, scoala nu se raporteaza decat la deductie si la combinare, uitand ca modalitatea deductiva este numai haina in care matematica se prezinta in lume, nu si substanta ei. Metabolismul matematicii cu celelalte discipline scolare este foarte slab. Asa se ajunge la situatia actuala, in care elevi si parinti protesteaza impotriva prezentei matematicii in programele scolare ale unor elevi care nu-si propun sa devina matematicieni. Intelectualii ajunsi la varsta evocarilor nostalgice au rareori amintiri semnificative despre orele de matematica. Daca acceptam drept cultura ceea ce iti ramane dupa ce ai uitat tot, atunci trebuie sa recunoastem o realitate cruda: cei mai multi oameni nu se aleg aproape cu nimic din matematica scolara. Destui raman marcati pe viata de spaima examenelor de matematica. Dar daca mergem la sursa acestei situatii, atunci vom identifica o complicitate, e drept, neintentionata, intre matematicieni, factorii de putere din societate si birocratia invatamantului. Este educatia matematica, prin natura ei, destinata unei elite? Sunt multi cei care dau un raspuns afirmativ acestei intrebari. Nu ma numar printre ei. Fapt este ca se ajunge la ceea ce francezii numesc “mathématiques, récettes de cuisine” iar americanii, in mod similar, “cook book mathematics”. Din aceasta “monstruoasa coalitie” rezulta caricatura de educatie matematica pe care incercam s-o depasim.

A fi matematician

A te pretinde matematician este o cutezanta pe care putine persoane in cunostinta de cauza si-o pot permite. Si-a permis-o Norbert Wiener, in titlul autobiografiei sale, dupa ce comunitatea matematica internationala l-a recunoscut ca autor al unor importante notiuni si rezultate matematice si ca un deschizator de drumuri. Dar un alt autor, Paul R. Halmos, cu o foarte buna reputatie in matematica, insa cu o clasa sub aceea a lui Wiener, a fost mai prudent si si-a intitulat volumul sau de memorii ”I want to be a mathematician” (Doresc sa fiu matematician). Avem deci in vedere pe matematician in ipostaza sa majora. Drumul catre aceasta tinta poate fi o aventura care merita a fi relatata, chiar daca tinta nu este efectiv atinsa.

Atunci cand am devenit membru titular al acestui inalt for de cultura, am dorit sa-mi prezint cat mai curand discursul de receptie. Dar am vrut sa vad, in prealabil, ce au spus in discursurile lor de receptie profesorii mei. Am cautat deci discursurile prezentate de Simion Stoilow, Victor Valcovici, Octav Onicescu, Gheorghe Vranceanu, Miron Nicolescu, Gheorghe Demetrescu, Grigore C. Moisil, Alexandru Ghika, Nicolae Teodorescu. Le-am cautat si pe cele ale colegilor lor din alte centre universitare: Alexandru Myller, Octav Mayer, Mendel Haimovici, Tiberiu Popoviciu, Gheorghe Calugareanu. Rezultatul acestei cautari a fost dezamagitor: niciunul dintre ei nu si-a prezentat un discurs de receptie. Faptul se explica, fara indoiala, prin lipsa de libertate care a existat in Romania atunci cand acestia au fost primiti in Academie. Dar, chiar asa stand lucrurile, ma simteam oarecum stingherit si tot amanam discursul meu.

Ma aflu acum intr-un moment in care orizontul meu temporal nu mai este foarte generos si de aceea m-am decis, dupa multe ezitari, sa ma prezint in fata acestui for, cu o incercare de recapitulare a unei vieti care ma umple de mirare.

Daca profesorii mei nu si-au tinut discursul de receptie, am mers la discursurile profesorilor profesorilor mei, ale celor pe care-i consider un fel de bunici spirituali. Surpriza nu a lipsit nici aici, dar ea a fost una placuta, plina de semnificatii. In acele vremuri, cultura romaneasca avea o anumita unitate. Disciplinele nu erau inca ferm constituite iar dialogul lor era modul normal de existenta. Inginerului, matematicianului si pedagogului Petrache Poenaru, care–si consacrase discursul de receptie rostit in anul 1871 lui Gheorghe Lazar si scolii romanesti, i-a raspuns scriitorul George Sion. Fizicianului, chimistului si matematicianului Emanoil Bacaloglu, care vorbise la 1880 despre calendar, i-a raspuns scriitorul si inginerul Ion Ghica. Discursului despre Spiru Haret, rostit de Gheorghe Titeica in 1914, i-a raspuns fizicianul si meteorologul Stefan C. Hepites. In 1933, compozitorul George Enescu isi prezinta discursul despre scriitorul Iacob Negruzzi si despre intrarea muzicii la Academia Romana iar raspunsul este dat de matematicianul Gheorghe Titeica. In 1936, matematicianul Dimitrie D. Pompeiu isi consacra discursul chimistului Petru Poni si medicului Ioan Cantacuzino, iar raspunsul este dat de un alt medic, Gheorghe Marinescu.

Frumoase vremuri! Iata insa ca acum ne aflam intr-o perioada in care, din cu totul alte motive decat cele care explica situatia din urma cu o suta ani, dialogul disciplinelor se impune ca o necesitate majora. Ati vazut insa cata mirare a produs, in urma cu cativa ani, raspunsul dat de un matematician la discursul rostit in aceasta aula de un critic literar. Disciplinele au proliferat peste masura si uneori se uita ca valoarea lor culturala este data si de capacitatea lor comunicationala. Discursul de receptie al unui matematician nu se adreseaza numai colegilor sai de breasla, ci intregii comunitati academice. Nu ascund ca am fost tentat de a invita pe un coleg dintr-o alta sectie sa-mi dea raspunsul; dar a invins dorinta de a ma adresa cuiva care este martor de multe decenii la itinerarul meu spiritual si care are la activul sau o remarcabila opera de creatie, in buna masura interdisciplinara.

Trebuie totusi sa ne intrebam daca discursul de receptie, in forma sa traditionala, mai este actual. Dupa cum ar fi cazul sa ne intrebam de ce nu se mai practica decat rareori lectia de deschidere la cursurile universitare. Am asistat, in aceasta Academie, la splendide discursuri de receptie ale unor membri de onoare din strainatate, in ciuda faptului ca pentru ei statutul nu prevede acest discurs. Cine poate uita prezenta in aceasta aula a lingvistului Eugenio Coseriu sau a scriitorului Jean Lefèvre D’Ormesson? Este mai important momentul titularizarii decat cel al primirii in Academie? Daca raspunsul este negativ – si poate ca acesta este cazul – atunci n-ar trebui ca momentul primirii in Academie sa fie si cel al discursului de receptie (cel putin pentru a fi consecventi cu denumirea acestui discurs)?

Rarele bucurii pe care mi le-a oferit matematrica in adolescenta au venit nu atat din viata scolara propriu zisa, cat din ceea ce am putut afla in timpul meu liber. Mult mai puternica s-a dovedit atunci atractia pentru literatura si pentru filozofie, dar nu ca urmare a celor invatate la scoala, ci prin lecturile de acasa, din carti care nu faceau parte din programa scolara. Prima revelatie oferita de matematica am trait-o abia la varsta bacalaureatului, cand am citit ceva despre geometriile neeuclidiene, dar nu din cartile de scoala. Am realizat, pentru prima oara, frustrarea careia ii cad victima cei mai multi copii si adolescenti. Au trecut de atunci peste 60 de ani; in tot acest timp, am urmarit evolutia matematicii scolare. Dincolo de unele ameliorari locale si temporare, la varsta de 11, 12, 13 ani se produce ruptura de pe urma careia cei mai multi elevi resping matematica si o considera un fel de pedeapsa. Amintindu-ne de ceea ce scria revizorul scolar Eminescu despre predarea matematicii in scoala si de insemnarile lui Spiru Haret, putem conchide ca matematica scolara traieste, de un secol si jumatate, intr-o nemeritata singuratate.

Am optat, intr-un moment de mare deruta din toamna anului 1944, pentru studiul matematicii. Chiar de la prima ora de curs, am primit de la Profesorul Miron Nicolescu indemnul de a face tabula rasa din matematica scolara. Desigur, aceste cuvinte nu puteau fi luate ad litteram, dar sensul lor profund imi devenise clar. Era o confirmare a impresiei la care ajunsesem la terminarea liceului: adevarata matematica nu este aceea din manualele scolare, chiar daca unele cunostinte capatate din ele sunt utile. Era o constatare negativa. Dar lecturile privind geometriile neeuclidiene si primele ore de curs cu Profesorul Miron Nicolescu, cel care avea sa-mi devina mentor si parinte spiritual, au fost primii pasi spre o intelegere a naturii reale a matematicii. Initierea in analiza matematica mi-a dezvaluit doua aspecte esentiale ale ei, atentia acordata proceselor cu o infinitate de etape si discrepanta dintre ceea ce devine inteligibil prin matematica acestor procese si ceea ce este vizibil, perceptibil pe cale directa. Dar mi-am dat imediat seama ca aceste aspecte nu-mi erau necunoscute. Unde le mai intalnisem? In poezia lumii, de la Eminescu, Arghezi, Blaga si Barbu la Edgar Poe, Baudelaire, Mallarmé si Rimbaud. Poezia are acces la infinitul existentei, la “comportamentul ei asimptotic”. In acelasi timp, intocmai ca si matematica infinitului, poezia transgreseaza locul comun al existentei cotidiene, pentru a ne pune in contact cu aspectele anti-intuitive, paradoxale, ale existentei. In acest fel mi-am dat seama ca veneam spre matematica marcat fiind de lecturile mele literare si filozofice.

Prima propunere a unei teme de cercetare, din partea Profesorului Miron Nicolescu, nu m-a entuziasmat. Mi-a dat atunci un articol al lui G. P. Tolstov despre comportamentul derivatelor partiale ale unei functii de doua variabile si m-a invitat sa-i fac o lectura critica. Asa s-a nascut primul meu articol. Profesorul imi ghicise preferinta pentru ceea ce se numea atunci patologia functiilor reale, un domeniu care se nascuse in secolul al XIX-lea, ca urmare a nevoii de decantare si aprofundare a notiunilor de baza ale analizei matematice. Aceasta preocupare a capatat amploare in secolul al XX-lea, prin Emile Borel, Henri Lebesgue, René Baire si Arnaud Denjoy in Franta, prin scoala poloneza a lui Waclaw sierpinski, prin rusii N. Luzin, M. Suslin si N. Bary si prin Dimitrie Pompeiu, Simion Stoilow, Alexandru Froda si Miron Nicolescu, in Romania. In anii ’50 ai secolului trecut, m-am aplecat cu atentie asupra acestor cercetari si am publicat cateva zeci de articole privind comportamentul anti-intuitiv al multimilor si functiilor reale.

Totul era un joc de asteptari frustrate, deoarece fapturile care faceau obiectul cercetarii nu admiteau o reprezentare vizuala. Cine se gandeste ca, atunci cand traseaza o linie pe o foaie de hartie, impune liniei respective constrangeri severe, cum ar fi obligatia de a avea o tangenta in fiecare punct (eventual, cu exceptia unui numar finit de puncte) si necesitatea ca acea tangenta sa varieze in mod continuu (eventual, cu exceptia unui numar finit de puncte)? Dar si cuvantul “continuu” are in matematica o semnificatie mult mai generala decat corespondentul ei intuitiv. Notiunea generala de curba are o inteligibilitate incomparabil mai vasta decat partea ei vizibila. intre inteligibil si vizibil se produce o tensiune care nu a scapat filozofilor si cu atat mai putin unui filozof matematician ca René Thom: vedem numai continuul (inteles ca ceea ce se opune discretului), dar intelegem numai finitul. 

Nu au lipsit criticile care sustineau inutilitatea unor preocupari de acest fel. Dar istoria nu le-a dat dreptate. Acele multimi si functii “urate” s-au dovedit a fi precursoare ale obiectelor care aveau sa constituie punctul de plecare in geometria fractala a naturii, propusa in anii ’70 ai secolului trecut de Benoit Mandelbrot. Obiectele fractale se afla peste tot in jurul nostru: norii si coastele oceanelor, fulgii de zapada si miscarea browniana, fenomenele biologice si cele financiare, literatura fractala si muzica fractala. Baudelaire si, pe urmele sale, Arghezi au introdus uratul in poezie, parca in intelegere cu autorii fractalilor.

Trecerea de la studentie la predare si cercetare a insemnat, in buna masura, trecerea de la matematica din cursuri si manuale la aceea din monografii, tratate si, mai ales, reviste de specialitate. Matematica vie, aceea care te introduce in laboratorul de lucru al matematicianului, este numai aceea din reviste (cele de cercetare, nu de popularizare). In revistele de data recenta, gasesti rezultatul celor mai proaspete framantari si cautari ale cercetatorilor. Imi aduc aminte emotia cu care intram, in anii ’50 si ’60 ai secolului trecut, in Biblioteca de Matematica a Universitatii din Bucuresti sau in aceea a Institutului de Matematica al Academiei, avand mereu ca prima intrebare: Ce noutati ati mai primit? Dar si placerea de a te cufunda in lectura celor care, intr-un trecut mai mult sau mai putin indepartat, au fost chinuiti de intrebari si curiozitati asemanatoare celor de azi, ale tale, nu este de subapreciat. Pastrez si acum zeci de caiete in care copiam fragmente din articole care ma interesau; era o vreme in care, nu numai ca nu exista inca internetul, dar nici xeroxul nu aparuse iar procedee mai rudimentare de copiat erau si ele un lux. Asa mi s-a cristalizat caracterul de stafeta al cercetarii. Pornesti de la probleme, idei si rezultate ale altora, incerci sa faci un pas mai departe si, daca reusesti sau numai crezi ca ai reusit, incerci sa transmiti altora mesajul tau. Astepti cu infrigurare reactia lor, pentru a testa in acest fel coerenta, corectitudinea si interesul mesajului respectiv si pentru a vedea in ce fel este, la randul sau, dus mai departe. Asa cum un parinte este interesat sa vada cum evolueaza propria-i odrasla, ca autor al unei lucrari doresti sa urmaresti ecoul ei. Nu cumva tocmai in aceste reactii ale altora se afla o sursa pretioasa pentru preocuparile tale ulterioare? Nu cumva tocmai in acest dialog generalizat se afla esenta activitatii de cercetare, a creatiei, in general? Banuind ca raspunsul corect la aceste intrebari este cel afirmativ, m-a preocupat, de la primii pasi in cercetare, impactul activitatii mele. in masura in care l-am putut urmari (intr-o vreme in care comunicarea cu lumea era dificila), l-am inregistrat cu grija iar cele peste o suta de caiete care s-au acumulat in aceasta privinta fac parte organica din biografia mea intelectuala. Acum, internetul faciliteaza considerabil urmarirea acestui aspect. Biografia noastra in domeniul creatiei culturale a devenit in mare masura publica.

In 1956 apare articolul lingvistului Noam Chomsky privind trei modele matematice de descriere lingvistica iar in 1957 apare cartea acestuia syntactic structures, in care modelul anterior este detaliat si explicat pe indelete. Pe de alta parte, in aceiasi ani, apar la Moscova cateva articole orientate si ele spre o alianta intre lingvistica si matematica: A. N. Kolmogorov propune un model algebric al cazului gramatical, V. A. Uspenski publica un model algebric al partii de vorbire iar R. L. Dobrushin propune un model algebric al categoriei gramaticale. Primele experimente de traducere automata, incepute inca in anii ’40, au un caracter predominant ingineresc, dar in 1958 O. S. Kulagina extrage din acest tip de activitate o descriere a notiunilor de baza ale gramaticii pe baza teoriei multimilor. Tatonarea posibilitatilor de traducere automata si de documentare automata in Europa occidentala, in cadrul Euratom, si in s.U.A., de exemplu, prin David Hays, conduce, spre sfarsitul anilor ’50 si inceputul anilor ’60, la diverse idei de proiectivitate sintactica (Yves Lecerf si altii), o provocare interesanta pentru teoria grafurilor. in toate aceste activitati sunt implicate esential logica matematica (gramatica generativa a lui Chomsky este, in esenta, un sistem formal in sensul lui Hilbert) si unele capitole de combinatorica (sistemele lui Post si probleme de tipul celor propuse la inceputul secolului trecut de Axel Thue). Tot din directie logico-matematica provin ideile lingvistice si logice ale lui Y. Bar-Hillel (1953) si J. Lambek (1958). F. Harary si N. Paper propun in 1957 un calcul al distributiei fonemelor, N. Chomsky prezinta in 1958 o analiza a relatiei dintre lingvistica, logica, psihologie si calculatoare; in acelasi an, Y, Bar-Hillel analizeaza procedurile de decizie in limbile naturale. M. Masterman discuta in 1957 relatia dintre semantica si sintaxa in traducerea automata. La toate acestea trebuie sa adaugam articolul lui S. C. Kleene din 1956, privind reprezentarea evenimentelor in retele nervoase si in automate finite, in ordinea de idei inaugurata de articolul din 1943 al lui W. S. McCulloch si E. Pitts, asupra unui calcul logic al ideilor implicate in activitatea nervoasa.

Sa rezumam. Dezvoltari din directii foarte diferite fac jonctiunea in a doua parte a anilor ’50, aducand intr-o albie comuna discipline dintre cele mai diverse: lingvistica, psihologia (Chomsky considera lingvistica generativa un capitol al psihologiei cognitive), calculatoarele, matematica, logica si biologia; dar prin teoria informatiei, in plin elan atunci, s-a facut legatura si cu fizica, in special cu termodinamica. Inutil sa mai adaugam ca filozofia se afla in fata unor provocari fara precedent. Evenimentele enumerate aveau loc intr-un moment in care se nastea informatica in Romania, sub bagheta extraordinarului dirijor de energii creatoare care a fost Grigore C. Moisil. si pentru ca, vorba poetului, toate aceste lucruri trebuia sa poarte un nume, s-au inventat diverse etichete, una dintre ele fiind lingvistica matematica. Sintactic, nu putem alatura decat doi termeni; dar era clar ca noile preocupari nu combinau numai doua domenii, ci mai multe. Marea noutate consta in faptul ca se aflau impreuna cel putin sase discipline, dintre care trei din domeniul socio-uman. Se mai aflau impreuna stiinta si ingineria. Polaritatea pascaliana “spiritul de geometrie, spiritul de finete” si contrastul dintre cele doua culturi, la care se referea C. P. Snow, primeau o provocare fara precedent. Ne aflam in plina transdisciplinaritate.

Cum puteam ramane indiferent la aceste evolutii? Am intrat in joc. Am simtit ca unor energii care asteptau de mult sa se dezlantuie le-a venit ceasul. Intr-un timp record, m-am initiat in lingvistica structurala, disciplina prin care te apropiai de noile preocupari din directia lingvisticii. Am fost ajutat in aceasta privinta de discutiile cu Emanuel Vasiliu, cel mai apropiat de logica si de matematica, dintre lingvistii romani ai acelui moment, si de Paula Diaconescu, entuziasta cercetatoare in analiza structurala a limbii romane; amandoi, de la Catedra de limba romana a Universitatii din Bucuresti, catedra condusa de Profesorul Alexandru Rosetti. Lor, li s-au adaugat ulterior Edmond Nicolau si Sorin Stati. Intre Rosetti si Moisil a existat o atractie magnetica, ei au incurajat si sprijinit o colaborare fata de care cei mai multi se aratau sceptici. Sprijinul lor, la Universitate si la Academie, a permis Romaniei sa fie una dintre primele tari in care s-au tinut cursuri universitare de lingvistica matematica si computationala si in care s-a infiintat o revista de profil, in limbi internationale.

Drept rezultat, a urmat o dezvoltare vertiginoasa, oglindita partial in recentul volum Grigore C. Moisil and his followers in theoretical computer science (Ed. Academiei Romane, 2007).

In aceasta atmosfera, am redactat cursul de lingvistica matematica pe care Editura didactica si pedagogica mi l-a publicat in 1963, cu rezerva considerata normala fata de o intreprindere aparent hazardata. Entuziasmul ma impiedica sa sesizez caracterul aparent utopic al traseului pe care ma angajam. Cursul se baza in buna masura pe cercetarile mele personale, publicate in reviste. Pentru a ma testa, am trimis cartea la cateva adrese universitare potential interesate intr-o atare aventura. A fost un loz castigator. A urmat publicarea ei la New York, la Paris, la Moscova si la Praga. Marile enciclopedii Brockhaus, Encyclopaedia Universalis, Enciclopedia Einaudi, Great soviet Encyclopedia, Enciclopedia of Mathematics si numeroase enciclopedii de lingvistica, de cibernetica, de informatica au mentionat una sau alta dintre versiunile cartii. Traiam astfel o experienta noua, nu mai ramaneam cantonat intr-un domeniu cu granite destul de precise, ci ma aflam pe un traseu transdisciplinar, care ma obliga sa invat nu numai lingvistica, ci si biologia sistemului nervos, biologia ereditatii, logica, psihologie cognitiva, structura limbajelor de programare si anumite capitole de matematica discreta care nu erau pe linia antrenamentului meu anterior, din studiul functiilor reale si al topologiei generale.

Am simtit tot timpul, in aceasta noua etapa, sprijinul Profesorilor Rosetti, Moisil si Miron Nicolescu. Atunci am descoperit faptul ca, prin interactiune cu disciplinele socio-umane, matematica si calculatoarele dobandesc, pentru un public destul de larg, o valoare culturala

In perioada initiala a activitatii mele de cercetare, in care eram preocupat exclusiv de probleme de analiza matematica, ma multumeam sa comunic despre ele numai cu matematicieni. De indata ce am trecut la o activitate transdisciplinara, am devenit un interlocutor interesant pentru persoane din toate domeniile, inclusiv pentru scriitori, pentru filozofi si pentru gazetari. Toti ma asaltau cu intrebari care tradau mirarea lor fata de o posibila legatura intre matematica si calculatoare, pe de o parte, si lingvistica, biologie si psihologie, pe de alta parte. Descopeream astfel din nou singuratatea matematicianului. Scoala nu le daduse nicio idee despre alte conexiuni ale matematicii decat cele cu fizica (si chiar despre acestea, informatia era derizorie). Interlocutorii mei, de multe ori oameni cu o bogata cultura, nu-si imaginau ca matematica ar putea fi si altceva decat un sir de calcule cu impact preponderent ingineresc si se mirau afland ca in matematica mai sunt multe probleme care-si asteapta raspunsul si ca mereu apar probleme noi. Posibilitatea unei matematici a calitatii, a structurii, li se parea in conflict cu natura ei. Dealtfel, am constatat ca si despre lingvistica reprezentarea multora era derizorie, nu-si imaginau ca aceasta stiinta are si altceva de facut decat stabilirea normelor de vorbire si scriere corecta.

Prin anii 1950-1951, eram si asistent la cursuri de matematica de la Politehnica bucuresteana, la Electrotehnica, la Energetica si la Chimie industriala. Intr-o zi, sunt invitat de Profesorul Spacu, decan la Chimie, care-mi atrage atentia ca seminarul meu este prea teoretic. “Din matematica, chimia nu are nevoie decat de putin peste regula de trei”. Cursul la care faceam seminarul era tinut de Profesorul Raclis, care ma pusese in garda chiar de la prima intalnire: “sa nu cumva sa incerci sa faci demonstratii, ca esti un om pierdut!” L-am urmarit cu atentie; enunturile erau validate prin expresii de tipul “se vede pe figura ca…” Figurile erau executate cu crete colorate si impresionau prin acuratete. Accentul cadea pe procedee, descompuse in pasi caligrafiati si numerotati cu grija pe tabla. Cred ca a fost unul dintre cele mai apreciate cursuri. Nu m-am putut incadra in aceasta conduita si am parasit Politehnica, pentru a ma dedica in intregime activitatii mele la Universitatea din Bucuresti, ca asistent al Profesorului Miron Nicolescu. De atunci, am urmarit cu atentie statutul matematicii in invatamantul ingineresc. In urma cu vreo 20 de ani, in cadrul unor dezbateri pe aceasta tema, se cristalizasera doua puncte de vedere. Pentru unii, ca Profesorul Dorin Pavel, gandirea inginereasca nu se formeaza prin matematica iar rolul acordat matematicii la admiterea in Politehnica si pe parcursul studiilor este exagerat. Nici Profesorul D. Drimer nu parea a fi departe de acest punct de vedere. Pentru ei, matematica in inginerie era o simpla unealta, utila uneori. Nimic mai mult.Cu o alta ocazie, si Profesorul Remus Radulet exprimase o opinie similara. Pentru altii, ca Profesorul Radu Voinea si Profesorul Alexandru Balaban, matematica este pentru inginer si un mod de gandire exemplar iar prezenta matematicii la admiterea in Politehnica si pe parcursul studiilor trebuie intarita. 

Fizicienii teoreticieni obisnuiesc de multa vreme sa considere functia de limbaj a matematicii, cu referire la capacitatea acesteia de a da o expresie concentrata si riguroasa anumitor relatii. Limbajul matematic este, de la Newton si Galilei incoace, modul de a fi al unor vaste capitole ale fizicii. Dezvoltarea teoriei ecuatiilor diferentiale s-a aflat intr-un metabolism permanent cu dezvoltarea fizicii. Ecuatiile diferentiale si cele integrale au devenit modul predominat de exprimare a legilor fizicii. In secolul al XX-lea, ca urmare a dezvoltarii teoriei relativitatii si a mecanicii cuantice, in “jocul” dintre fizica si matematica mingea este mereu si mereu pe terenul matematicii; limbajul matematic nu mai este simtit aici ca rezultat al unei operatii de traducere a unor situatii nematematice, rezultand din observatie si experiment, ci devine pur si simplu modul de existenta al fenomenelor fizice. 

Apropierea dintre economie si matematica are o istorie de cateva secole. In secolul al XX-lea si mai ales in a doua jumatate a acestuia, limbajul matematic a devenit modalitatea predominanta de exprimare a fenomenelor economice, fapt oglindit de un mare numar de premii Nobel in economie acordate unor lucrari foarte matematizate. Acest fapt nu este strain de aparitia si dezvoltarea teoriei jocurilor de strategie, avand ca protagonisti pe John von Neumann, Oskar Morgenstern si John Nash.

Un alt domeniu in care matematica a patruns in mod masiv este biologia. In prima jumatate a secolului al XX-lea a avut loc o utilizare mai degraba sub forma de unealta a ecuatiilor diferentiale, a teoriei probabilitatilor si statisticii matematice. In a doua jumatate a secolului trecut, studiul sistemului nervos si al ereditatii a beneficiat de o patrundere masiva a limbajului matematic, rezultat din dezvoltarea combinata a matematicii, biologiei si informaticii.

De vreo jumatate de secol, la ingineria energiei, bazata in primul rand pe matematici continue, s-a adaugat ingineria informatiei, care face apel in primul rand la matematici discrete. Granita dintre stiinta si inginerie devine tot mai problematica. De la teza de doctorat a lui Shannon, de la sfarsitul anilor ’30 ai secolului trecut, logica matematica si ingineria intra in conexiune directa iar limbajul matematic a devenit esential pentru disciplinele informatiei.

De la limbaj i se trage, in primul rand, matematicianului, singuratatea in care se afla, deci merita sa-i acordam o atentie speciala.

Exista realmente un limbaj matematic, sau este vorba aici de o simpla metafora? Cand se pretinde ca Jean-Jacques Rousseau s-a servit de limbajul matematic pentru a explica teoria sa asupra guvernarii (Marcel Françon, “Le langage mathématique de Jean-Jacques Rousseau”, Isis 40 (1949), 341-344), despre ce anume este vorba? In primul capitol din cartea a treia a Contractului social, Rousseau isi propune sa studieze diferite tipuri de relatii si forte intermediare implicate in actul guvernarii. Pentru a se face mai clar si mai sugestiv, recurge la o utilizare metaforica a rapoartelor si proportiilor din algebra elementara. O metafora de acelasi tip avea sa fie folosita in urma cu vreo 30 de ani de Samuel Huntington, intr-o carte a sa de stiinte politice. sintagma limbaj matematic este, de cele mai multe ori, folosita la modul metaforic, pentru a numi o utilizare locala, pasajera, a unei analogii cu un termen sau cu un simbol matematic; alteori, dar la fel de abuziv, se desemneaza prin aceasta sintagma folosirea locala a unei anumite formule, intr-un text care, in cea mai mare parte a sa, nu are nimic comun cu matematica. 

Dar nici termenul de limbaj luat singur nu este mai putin echivoc. Predomina utilizarile sale metaforice sau echivalarea sa cu un sistem arbitrar de semne. In consecinta, expresii ca limbajul florilor sau limbajul culorilor raman fara acoperire, dar acceptate ca metafore. In ce conditii devine limbaj un anume sistem de semne, iata o problema foarte controversata, pe care nu o putem discuta aici. Cercetari mai aprofundate au condus la ipoteza general acceptata, conform careia sistemul de semne folosit in matematica are cele mai multe trasaturi ale unui limbaj. Ca orice sistem de semne, un limbaj este dotat cu trei niveluri”: sintactic, semantic si pragmatic. Limbajelor li se mai cere, de obicei, sa aiba o structura secventiala. Aceasta conditie nu prea este indeplinita de limbajul matematic, in a carui tesatura intervine, dupa cum a observat Josh Ard, o dinamica de tipul montajului vertical la care se referea Eisenstein in legatura cu filmul. Dar sa vedem din ce anume este alcatuit limbajul matematic. 

1)Limbajul natural (predominant in varianta limbii engleze); 

2)Elemente ale limbajului natural, folosite ca simboluri artificiale (a, b, c. x, y, A, B, sin, dy/dx, p, ?, G, ?, a, ß, ? etc);

3)Simboluri, altele decat cele de la 2): 0, 1, 2, 3, …, simbolurile de disjunctie si de conjunctie logica, cele de reuniune, intersectie si incluziune relative la multimi, simbolul de apartenenta al lui Peano, simbolul integralei etc.;

4)Expresii, relatii, formule, ecuatii etc. formate cu ajutorul entitatilor de la 2) si 3);

5)Reprezentari pictoriale discrete (grafuri, matrici, diagrame etc);

6)Reprezentari pictoriale continue (curbe, suprafete etc);

7)Programe de calculator;

8)Metasisteme simbolice, cum ar fi limbajul programabil de printare TEX (dupa grecescul techné, asociat cu latinescul texere) si cu derivatele sale, ca AMS.TEX si LATEX, care, sub forma unor comenzi, reglementeaza tiparirea textelor matematice;

9)Componenta orala a matematicii.

Cateva observatii sunt necesare. Componenta semnalata la 1 este cea mai importanta, deoarece limbajul natural directioneaza intregul comportament al limbajului matematic. Gandim prin intermediul limbajului natural, chiar atunci cand ne prevalam de celelalte componente. Se preconizeaza, ca o medie, un echilibru prin care jumatate dintr-un text matematic ramane scris in limbaj natural. Nu trebuie confundat limbajul matematic cu limbajul axiomatic deductiv sau cu cel formalizat. Matematica nu este si (stim acum) nu poate fi in intregime formalizata. Este uimitor felul in care toate aceste imperative de igiena a educatiei sunt ignorate in matematica scolara, in diferitele ei variante: manuale, predare la clasa, reviste pentru elevi, examene, concursuri. Reducem educatia la aspectul ei sintactic, ignorand dimensiunea ei semantica. Dar semnificatiile se exprima in cuvinte, pentru a le intelege si exprima trebuie sa construiesti un discurs. Este exact ceea ce scoala nu reuseste. Acest esec se transmite de la scoala la universitate si de la universitate in cercetare; modul in care ideile matematice sunt asimilate si utilizate este profund afectat de aceasta intelegere fragmentara a lor.

Prezenta componentelor 2, 3 si 4 arata ca limbajul matematic are o structura mixta, fiind alcatuit dintr-o componenta naturala si alta artificiala. Stim acum ca in componenta artificiala se regasesc toate functiile componentei naturale: metafora, metonimie, ambiguitate, relatii de coordonare si de subordonare etc. Ca urmare a prezentei componentelor 4, 5 si 6, limbajul matematic devine bidimensional si, uneori, tridimensional. O liniarizare fortata rapeste matematicii din forta sa euristica si sugestiva. sa mai observam ca limbajul matematic se prevaleaza atat de reprezentari discrete cat si de reprezentari continue. Fiind un limbaj scris, el este esential vizual. Componenta 9 are in vedere prezentarea orala a matematicii, care are alte reguli decat cea scrisa; nu dezvoltarea detaliilor, ci sublinierea ideilor, a contextului cultural-istoric, a cotiturilor periculoase. Prezentarea orala atenueaza liniaritatea discursului scris, prin distribuirea mai nuantata a accentelor. Dar, dupa cum observa Dan Barbilian, un rezultat matematic nu se poate valida decat pe baza formei sale scrise. 

Putem acum sa contemplam, in toata splendoarea sa, aceasta cucerire a spiritului uman care se numeste limbajul matematic

Acest limbaj exploateaza sinonimia sa infinita. Orice enunt se poate reformula intr-un mod echivalent. Demonstratiile se bazeaza pe aceasta parafrazare potential infinita a ipotezelor, proces care duce, dupa un numar finit de pasi, la concluzia dorita. in aceasta activitate, sunt folosite deopotriva relatii anaforice si cataforice. Este manifesta tendinta de reducere a fenomenelor de omonimie, dar nu se poate ajunge la anihilarea lor totala. Caracterul esential metaforic al limbajului matematic provine in primul rand din procesele de generalizare. De exemplu, trecerea de la numere rationale la cele irationale, in cazul de referinta al evaluarii lungimii diagonalei unui patrat cu latura egala cu unitatea, s-a bazat pe cautarea unui numar care sa se afle fata de 2 intr-o relatie similara celeia in care se afla n fata de patratul lui n. Procesul metaforic se refera aici nu la o entitate preexistenta, ci la una care se construieste prin emergenta procesului respectiv. Este deci vorba de metafore autoreferentiale. Metafora declansata de Pitagora, in legatura cu diagonala patratului unitate, a avut nevoie de 2000 de ani pentru a conduce la conceptul de numar real si, in cadrul acestuia, la conceptul de numar irational. Mai sunt apoi metaforele care sugereaza o legatura cu lumea contingenta: frontiera, filtru, numar rational, numar transcendent etc.

Metonimia tine si ea de natura intima a matematicii. O problema esentiala este citirea proprietatilor unei multimi pe o parte cat mai restransa a ei. Cele mai multe numere reale sunt reprezentate printr-o parte finita a lor, deoarece nu cunoastem reprezentarea lor esential infinita si neperiodica. In afara de relatia intreg-parte, este foarte importanta relatia de contiguitate determinata de inferente de diverse tipuri: inductii, deductii si abductii.

Semantica limbajului matematic este, ca si aceea a limbajului comun, de doua feluri: aditiva (cand semnificatia intregii expresii se obtine prin concatenarea semnificatiilor componentelor) si integrativa (cand semnificatia intregii expresii este diferita de semnificatia obtinuta prin concatenarea semnificatiilor componentelor). Un exemplu de al doilea tip este obtinut prin plasarea semnului integralei in fata expresiei f(x)dx. In acest caz, dx nu mai inseamna diferentiala lui x iar alaturarea dintre f(x) si dx nu are semnificatia de produs. Dar notatia se explica prin dorinta pastrarii analogiei cu sumele din care provine respectiva integrala, printr-un proces de trecere la limita.

Limbajul matematic realizeaza de multe ori un proces de optimizare semiotica, asemanator celui poetic. Este suficient sa ne referim la cazul simplu al puterii a n-a a unui binom a+b. Putem exprima in cuvinte aceasta putere pentru valori mici ale lui n, dar, de indata ce valoarea lui n creste, pierdem controlul. Simbolismul matematic ne salveaza.

Dimensiunea narativa a limbajului matematic este vizibila in itinerarele de cursa lunga, de tipul demonstratiilor maratonice care au condus la validarea teoremei celor patru culori, a teoremei lui Fermat, a conjecturii lui Kepler etc. André Gide compara romanul cu o teorema, dar teorema se poate afla uneori la capatul unei aventuri in care apar momente cu adevarat dramatice. De exemplu, teorema de clasificare a grupurilor simple finite, cu sute de autori, s-a aflat intr-o astfel de situatie atunci cand, in urma cu peste zece ani, murise singurul care stia cum sa articuleze intr-un intreg rezultatele partiale ale diversilor autori. Demonstratiile cu ajutorul programelor de calculator ridica probleme delicate, privind controlul acestor programe. Imposibilitatea de a obtine certitudinea adevarului anumitor teoreme este de un dramatism pe care timp de doua mii de ani nimeni nu l-a crezut posibil. semnificativ din acest punct de vedere este textul cu care Redactia revistei Annals of Mathematics prefateaza publicarea demonstratiei conjecturii lui Kepler, publicare aprobata in ciuda faptului ca referentii nu au putut ajunge la validarea cu certitudine a demonstratiei conjecturii respective.

Urmarirea greselilor comise in incercarile de demonstrare a unei ipoteze importante ne permite sa intelegem cum anume o greseala poate deveni o sursa de creativitate. Sirul de greseli comise in incercarile succesive de demonstrare a teoremei lui Fermat este unul dintre cele mai frapante exemple de acest fel. Chiar autorul demonstratiei acestei teoreme a comis, in prima sa tentativa, o greseala, pe care a indepartat-o ulterior. O greseala locala a lui Lebesgue, intr-un celebru memoriu al sau, l-a condus, pe cel care a descoperit-o, la deschiderea unui nou capitol de topologie, teoria multimilor analitice si proiective.

Cuvantul teorema are, dupa etimologia sa greaca, semnificatia de spectacol. Dupa exemplele date mai sus, intelegem ca drumul spre o teorema poate fi intr-adevar un spectacol. Acest drum abunda in capcane si este nevoie de multe ori de efortul catorva generatii de temerari care sa le infrunte, pentru a se ajunge la un rezultat; alteori nici cateva generatii nu sunt suficiente. Contrastul dintre caracterul foarte elementar al unor enunturi, cum ar fi conjectura lui Goldbach (orice numar par superior lui 2 este suma a doua numere prime), si dificultatea de a le demonstra sau infirma, chiar atunci cand se pun in miscare rezultate si instrumente dintre cele mai fine, ii poate scandaliza pe matematicieni, dar, in acelasi timp, ii stimuleaza si ii ambitioneaza in a-si multiplica eforturile in directia respectiva.

In cartea lor What is Mathematics? (Oxford University Press, London, 1941-1946), Richard Courant si Herbert Robbins se refera la natura teatrala a analizei matematice. In definirea notiunilor de baza, ca limita unui sir, convergenta sa, limita, continuitatea, derivabilitatea si integrabilitatea unei functii etc., intalnim mereu acelasi scenariu: doua personaje, A si B, primul punandu-l mereu la incercare pe al doilea. In cazul convergentei sirurilor, A propune o valoare strict pozitiva a lui epsilon iar B trebuie sa stabileasca daca exista un numar natural N astfel incat, pentru m si n mai mari decat N, o anumita inegalitate, incluzand pe epsilon, pe m si pe n, este satisfacuta. Insa B trebuie sa faca fata acestui test oricare ar fi valoarea strict pozitiva a lui epsilon; nu e, ca in basmul popular, unde eroul trebuie sa faca fata, de obicei, la trei incercari. 

 

Tragedia se asociaza cu fenomenele de hybris si nemesis. Hybris-ul este eroarea tragica, ce-l duce pe erou la moarte, dupa ce a ignorat avertismentul zeilor. Pentru scott Buchanan ( Poetry and Mathematics , The John Day Company, New York, 1929, p.175-197), hybris-ul este atitudinea de aroganta sau de insolenta a unei naturi oarbe. Nemesis-ul este rezultatul acestei arogante: faptele se razbuna pe cel care le-a ignorat. Dar un personaj tragic trebuie nu numai sa pacatuiasca prin hybris, ci si sa aiba darul ironiei. “Tragedia procedeaza prin analogie si prin substitutie omogena in gandirea rationala a eroului. Evenimentele sunt pregatite, controlate si interpretate, in asa fel incat sa fie in concordanta cu ipoteza. Are loc o dezvoltare care tinde spre integrare si generalitate”.

In matematica, lucrurile decurg in mod asemanator. Comportamentul unei functii este tatonat prin observarea valorilor functiei atunci cand se dau anumite valori particulare argumentului. Grecii foloseau acest procedeu pentru a identifica ceea ce ulterior avea sa se numeasca “valorile limita ale functiei”; pe aceasta cale, ei rezolvau unele ecuatii. O atare metoda avea sa capete o forma riguroasa abia cu dezvoltarea calculului diferential, mai precis, prin notiunea de dezvoltare in serie Taylor a unei functii, cu ajutorul derivatelor ei succesive.

In cazul comediei, situatia este diferita. Il citam pe Scott Buchanan: “Aici se procedeaza prin variatie foarte larga si prin substitutie heterogena. Fiecare schimbare de directie a actiunii marcheaza descoperirea unei inconsistente, a unui plan care nu functioneaza, a unei situatii paradoxale. si aici avem o dezvoltare, dar in faza de discriminare a capacitatii de a opera distinctii. Eroul unei comedii sau este capabil de a sesiza orice gluma, orice vorba de spirit, sau nu-i in stare sa inteleaga niciuna. in acest fel, toate ideile pot avea o sansa egala de conflict sau de purificare. Comedia de moravuri se bazeaza pe substitutia de idei”.

Fenomenele de textualitate, de intertextualitate si de hipertextualitate, in linia de gandire a unor M Bakhtin, J. Kristeva si a celor care, prin hipertextualitate, au transgresat secventialitatea textului traditional, sunt la ele acasa in matematica. Intr-adevar, intr-un text matematic se manifesta, mai mult decat in orice alt text, fenomenele de dependenta la distanta. Suprimati dintr-o carte de matematica primele zece pagini si riscati sa nu mai intelegeti aproape nimic din rest. O operatie similara intr-o carte de geografie sau de istorie are un efect neglijabil. Faptul se explica prin structura textelor matematice; prin constructia in etape, in care fiecare etapa se bazeaza in mod riguros si explicit pe etapele anterioare. Desigur, in orice demers procedam in etape care se folosesc de etapele precedente, dar de cele mai multe ori acest lucru se face prin reamintirea faptelor anterioare care urmeaza a fi utilizate. in matematica, preluarea notiunilor, conventiilor si rezultatelor anterioare are o asemenea amploare, incat reluarea lor, de fiecare data cand ele sunt invocate, ar pune la grea incercare atentia si memoria si ar sabota functia euristica a limbajului. Achizitiile etapelor anterioare trebuie ordonate cu grija, asa cum se procedeaza intr-o locuinta, prin gruparea diferitelor obiecte in dulapuri, sertare, cutii diferite. In matematica, aceasta ordonare impune folosirea unei anumite terminologii si a unui anumit simbolism, prin care desemnam noile notiuni si entitati, in vederea folosirii lor cat mai comode in etapele urmatoare. Astfel emerge componenta artificiala a limbajului matematic. sub aspect istoric, acest fenomen s-a accentuat pe vremea lui Galilei si a lui Newton, accelerandu-se apoi si atingand apogeul in secolul trecut.