A fi matematician

A te pretinde matematician este o cutezanță pe care puține persoane în cunoștință de cauză și-o pot permite. Și-a permis-o Norbert Wiener, în titlul autobiografiei sale, după ce comunitatea matematică internațională l-a recunoscut ca autor al unor importante noțiuni și rezultate matematice și ca un deschizător de drumuri. Dar un alt autor, Paul R. Halmos, cu o foarte bună reputație în matematică, însă cu o clasă sub aceea a lui Wiener, a fost mai prudent și și-a intitulat volumul său de memorii ”I want to be a mathematician” (Doresc să fiu matematician). Avem deci în vedere pe matematician în ipostaza sa majoră. Drumul către această țintă poate fi o aventură care merită a fi relatată, chiar dacă ținta nu este efectiv atinsă.

Surpriza

Atunci când am devenit membru titular al acestui înalt for de cultură, am dorit să-mi prezint cât mai curând discursul de recepție. Dar am vrut să văd, în prealabil, ce au spus în discursurile lor de recepție profesorii mei. Am căutat deci discursurile prezentate de Simion Stoilow, Victor Vâlcovici, Octav Onicescu, Gheorghe Vrânceanu, Miron Nicolescu, Gheorghe Demetrescu, Grigore C. Moisil, Alexandru Ghika, Nicolae Teodorescu. Le-am căutat și pe cele ale colegilor lor din alte centre universitare: Alexandru Myller, Octav Mayer, Mendel Haimovici, Tiberiu Popoviciu, Gheorghe Călugăreanu. Rezultatul acestei căutări a fost dezamăgitor: niciunul dintre ei nu și-a prezentat un discurs de recepție. Faptul se explică, fără îndoială, prin lipsa de libertate care a existat în România atunci când aceștia au fost primiți în Academie. Dar, chiar așa stând lucrurile, mă simțeam oarecum stingherit și tot amânam discursul meu.

Pe vremea când G. Țițeica îi răspundea lui G. Enescu

Mă aflu acum într-un moment în care orizontul meu temporal nu mai este foarte generos și de aceea m-am decis, după multe ezitări, să mă prezint în fața acestui for, cu o încercare de recapitulare a unei vieți care mă umple de mirare.

Dacă profesorii mei nu și-au ținut discursul de recepție, am mers la discursurile profesorilor profesorilor mei, ale celor pe care-i consider un fel de bunici spirituali. Surpriza nu a lipsit nici aici, dar ea a fost una plăcută, plină de semnificații. În acele vremuri, cultura românească avea o anumită unitate. Disciplinele nu erau încă ferm constituite iar dialogul lor era modul normal de existență. Inginerului, matematicianului și pedagogului Petrache Poenaru, care–și consacrase discursul de recepție rostit în anul 1871 lui Gheorghe Lazăr și școlii românești, i-a răspuns scriitorul George Sion. Fizicianului, chimistului și matematicianului Emanoil Bacaloglu, care vorbise la 1880 despre calendar, i-a răspuns scriitorul și inginerul Ion Ghica. Discursului despre Spiru Haret, rostit de Gheorghe Țițeica în 1914, i-a răspuns fizicianul și meteorologul Ștefan C. Hepites. În 1933, compozitorul George Enescu își prezintă discursul despre scriitorul Iacob Negruzzi și despre intrarea muzicii la Academia Română iar răspunsul este dat de matematicianul Gheorghe Țițeica. În 1936, matematicianul Dimitrie D. Pompeiu își consacră discursul chimistului Petru Poni și medicului Ioan Cantacuzino, iar răspunsul este dat de un alt medic, Gheorghe Marinescu.

Putem recupera acest dialog al disciplinelor?

Frumoase vremuri! Iată însă că acum ne aflăm într-o perioadă în care, din cu totul alte motive decât cele care explică situația din urmă cu o sută ani, dialogul disciplinelor se impune ca o necesitate majoră. Ați văzut însă câtă mirare a produs, în urmă cu câțiva ani, răspunsul dat de un matematician la discursul rostit în această aulă de un critic literar. Disciplinele au proliferat peste măsură și uneori se uită că valoarea lor culturală este dată și de capacitatea lor comunicațională. Discursul de recepție al unui matematician nu se adresează numai colegilor săi de breaslă, ci întregii comunități academice. Nu ascund că am fost tentat de a invita pe un coleg dintr-o altă secție să-mi dea răspunsul; dar a învins dorința de a mă adresa cuiva care este martor de multe decenii la itinerarul meu spiritual și care are la activul său o remarcabilă operă de creație, în bună măsură interdisciplinară.

A căzut în desuetudine discursul de recepție?

Trebuie totuși să ne întrebăm dacă discursul de recepție, în forma sa tradițională, mai este actual. După cum ar fi cazul să ne întrebăm de ce nu se mai practică decât rareori lecția de deschidere la cursurile universitare. Am asistat, în această Academie, la splendide discursuri de recepție ale unor membri de onoare din străinătate, în ciuda faptului că pentru ei statutul nu prevede acest discurs. Cine poate uita prezența în această aulă a lingvistului Eugenio Coseriu sau a scriitorului Jean Lefèvre D’Ormesson? Este mai important momentul titularizării decât cel al primirii în Academie? Dacă răspunsul este negativ – și poate că acesta este cazul – atunci n-ar trebui ca momentul primirii în Academie să fie și cel al discursului de recepție (cel puțin pentru a fi consecvenți cu denumirea acestui discurs)?

Singurătatea matematicii școlare

Rarele bucurii pe care mi le-a oferit matematica în adolescență au venit nu atât din viața școlară propriu-zisă, cât din ceea ce am putut afla în timpul meu liber. Mult mai puternică s-a dovedit atunci atracția pentru literatură și pentru filozofie, dar nu ca urmare a celor învățate la școală, ci prin lecturile de acasă, din cărți care nu făceau parte din programa școlară. Prima revelație oferită de matematică am trăit-o abia la vârsta bacalaureatului, când am citit ceva despre geometriile neeuclidiene, dar nu din cărțile de școală. Am realizat, pentru prima oară, frustrarea căreia îi cad victimă cei mai mulți copii și adolescenți. Au trecut de atunci peste 60 de ani; în tot acest timp, am urmărit evoluția matematicii școlare. Dincolo de unele ameliorări locale și temporare, la vârsta de 11, 12, 13 ani se produce ruptura de pe urma căreia cei mai mulți elevi resping matematica și o consideră un fel de pedeapsă. Amintindu-ne de ceea ce scria revizorul școlar Eminescu despre predarea matematicii în școală și de însemnările lui Spiru Haret, putem conchide că matematica școlară trăiește, de un secol și jumătate, într-o nemeritată singurătate.

“Faceți tabula rasa din matematica școlară!”

Am optat, într-un moment de mare derută din toamna anului 1944, pentru studiul matematicii. Chiar de la prima oră de curs, am primit de la Profesorul Miron Nicolescu îndemnul de a face tabula rasa din matematica școlară. Desigur, aceste cuvinte nu puteau fi luate ad litteram, dar sensul lor profund îmi devenise clar. Era o confirmare a impresiei la care ajunsesem la terminarea liceului: adevărata matematică nu este aceea din manualele școlare, chiar dacă unele cunoștințe căpătate din ele sunt utile. Era o constatare negativă. Dar lecturile privind geometriile neeuclidiene și primele ore de curs cu Profesorul Miron Nicolescu, cel care avea să-mi devină mentor și părinte spiritual, au fost primii pași spre o înțelegere a naturii reale a matematicii. Inițierea în analiza matematică mi-a dezvăluit două aspecte esențiale ale ei: atenția acordată proceselor cu o infinitate de etape și discrepanța dintre ceea ce devine inteligibil prin matematica acestor procese și ceea ce este vizibil, perceptibil pe cale directă. Dar mi-am dat imediat seama că aceste aspecte nu-mi erau necunoscute. Unde le mai întâlnisem? În poezia lumii, de la Eminescu, Arghezi, Blaga și Barbu la Edgar Poe, Baudelaire, Mallarmé și Rimbaud. Poezia are acces la infinitul existenței, la “comportamentul ei asimptotic”. În același timp, întocmai ca și matematica infinitului, poezia transgresează locul comun al existenței cotidiene, pentru a ne pune în contact cu aspectele anti-intuitive, paradoxale, ale existenței. În acest fel mi-am dat seama că veneam spre matematică marcat fiind de lecturile mele literare și filozofice.

Lecturile din anii ‘50

Prima propunere a unei teme de cercetare, din partea Profesorului Miron Nicolescu, nu m-a entuziasmat. Mi-a dat atunci un articol al lui G. P. Tolstov despre comportamentul derivatelor parțiale ale unei funcții de două variabile și m-a invitat să-i fac o lectură critică. Așa s-a născut primul meu articol. Profesorul îmi ghicise preferința pentru ceea ce se numea atunci patologia funcțiilor reale, un domeniu care se născuse în secolul al XIX-lea, ca urmare a nevoii de decantare și aprofundare a noțiunilor de bază ale analizei matematice. Această preocupare a căpătat amploare în secolul al XX-lea, prin Émile Borel, Henri Lebesgue, René Baire și Arnaud Denjoy în Franța, prin școala poloneză a lui Wacław Sierpiński, prin rușii N. Luzin, M. Suslin și N. Bary și prin Dimitrie Pompeiu, Simion Stoilow, Alexandru Froda și Miron Nicolescu, în România. În anii ’50 ai secolului trecut, m-am aplecat cu atenție asupra acestor cercetări și am publicat câteva zeci de articole privind comportamentul anti-intuitiv al mulțimilor și funcțiilor reale.

Interesul pentru mulțimile și funcțiile urâte

Totul era un joc de așteptări frustrate, deoarece făpturile care făceau obiectul cercetării nu admiteau o reprezentare vizuală. Cine se gândește că, atunci când trasează o linie pe o foaie de hârtie, impune liniei respective constrângeri severe, cum ar fi obligația de a avea o tangentă în fiecare punct (eventual, cu excepția unui număr finit de puncte) și necesitatea ca acea tangentă să varieze în mod continuu (eventual, cu excepția unui număr finit de puncte)? Dar și cuvântul “continuu” are în matematică o semnificație mult mai generală decât corespondentul ei intuitiv. Noțiunea generală de curbă are o inteligibilitate incomparabil mai vastă decât partea ei vizibilă. Între inteligibil și vizibil se produce o tensiune care nu a scăpat filozofilor și cu atât mai puțin unui filozof matematician ca René Thom: vedem numai continuul (înțeles ca ceea ce se opune discretului), dar înțelegem numai finitul. 

Nu au lipsit criticile care susțineau inutilitatea unor preocupări de acest fel. Dar istoria nu le-a dat dreptate. Acele mulțimi și funcții “urâte” s-au dovedit a fi precursoare ale obiectelor care aveau să constituie punctul de plecare în geometria fractală a naturii, propusă în anii ’70 ai secolului trecut de Benoit Mandelbrot. Obiectele fractale se află peste tot în jurul nostru: norii și coastele oceanelor, fulgii de zăpadă și mișcarea browniană, fenomenele biologice și cele financiare, literatura fractală și muzica fractală. Baudelaire și, pe urmele sale, Arghezi au introdus urâtul în poezie, parcă în înțelegere cu autorii fractalilor.

Suntem suma reacțiilor celorlalți

Trecerea de la studenție la predare și cercetare a însemnat, în bună măsură, trecerea de la matematica din cursuri și manuale la aceea din monografii, tratate și, mai ales, reviste de specialitate. Matematica vie, aceea care te introduce în laboratorul de lucru al matematicianului, este numai aceea din reviste (cele de cercetare, nu de popularizare). În revistele de dată recentă, găsești rezultatul celor mai proaspete frământări și căutări ale cercetătorilor. Îmi aduc aminte emoția cu care intram, în anii ’50 și ’60 ai secolului trecut, în Biblioteca de Matematică a Universității din București sau în aceea a Institutului de Matematică al Academiei, având mereu ca primă întrebare: Ce noutăți ați mai primit? Dar și plăcerea de a te cufunda în lectura celor care, într-un trecut mai mult sau mai puțin îndepărtat, au fost chinuiți de întrebări și curiozități asemănătoare celor de azi, ale tale, nu este de subapreciat. Păstrez și acum zeci de caiete în care copiam fragmente din articole care mă interesau; era o vreme în care, nu numai că nu exista încă internetul, dar nici xeroxul nu apăruse iar procedee mai rudimentare de copiat erau și ele un lux. Așa mi s-a cristalizat caracterul de ștafetă al cercetării. Pornești de la probleme, idei și rezultate ale altora, încerci să faci un pas mai departe și, dacă reușești sau numai crezi că ai reușit, încerci să transmiți altora mesajul tău. Aștepți cu înfrigurare reacția lor, pentru a testa în acest fel coerența, corectitudinea și interesul mesajului respectiv și pentru a vedea în ce fel este, la rândul său, dus mai departe. Așa cum un părinte este interesat să vadă cum evoluează propria-i odraslă, ca autor al unei lucrări dorești să urmărești ecoul ei. Nu cumva tocmai în aceste reacții ale altora se află o sursă prețioasă pentru preocupările tale ulterioare? Nu cumva tocmai în acest dialog generalizat se află esența activității de cercetare, a creației, în general? Bănuind că răspunsul corect la aceste întrebări este cel afirmativ, m-a preocupat, de la primii pași în cercetare, impactul activității mele. În măsura în care l-am putut urmări (într-o vreme în care comunicarea cu lumea era dificilă), l-am înregistrat cu grijă iar cele peste o sută de caiete care s-au acumulat în această privință fac parte organică din biografia mea intelectuală. Acum, internetul facilitează considerabil urmărirea acestui aspect. Biografia noastră în domeniul creației culturale a devenit în mare măsură publică.

Anii 1956-1957: umanistica în haine noi

În 1956 apare articolul lingvistului Noam Chomsky privind trei modele matematice de descriere lingvistică iar în 1957 apare cartea acestuia Syntactic Structures, în care modelul anterior este detaliat și explicat pe îndelete. Pe de altă parte, în aceiași ani, apar la Moscova câteva articole orientate și ele spre o alianță între lingvistică și matematică: A. N. Kolmogorov propune un model algebric al cazului gramatical, V. A. Uspenski publică un model algebric al părții de vorbire iar R. L. Dobrushin propune un model algebric al categoriei gramaticale. Primele experimente de traducere automată, începute încă în anii ’40, au un caracter predominant ingineresc, dar în 1958 O. S. Kulagina extrage din acest tip de activitate o descriere a noțiunilor de bază ale gramaticii pe baza teoriei mulțimilor. Tatonarea posibilităților de traducere automată și de documentare automată în Europa occidentală, în cadrul Euratom, și în S.U.A., de exemplu, prin David Hays, conduce, spre sfârșitul anilor ’50 și începutul anilor ’60, la diverse idei de proiectivitate sintactică (Yves Lecerf și alții), o provocare interesantă pentru teoria grafurilor. În toate aceste activități sunt implicate esențial logica matematică (gramatica generativă a lui Chomsky este, în esență, un sistem formal în sensul lui Hilbert) și unele capitole de combinatorică (sistemele lui Post și probleme de tipul celor propuse la începutul secolului trecut de Axel Thue). Tot din direcție logico-matematică provin ideile lingvistice și logice ale lui Y. Bar-Hillel (1953) și J. Lambek (1958). F. Harary și N. Paper propun în 1957 un calcul al distribuției fonemelor, N. Chomsky prezintă în 1958 o analiză a relației dintre lingvistică, logică, psihologie și calculatoare; în același an, Y. Bar-Hillel analizează procedurile de decizie în limbile naturale. M. Masterman discută în 1957 relația dintre semantică și sintaxă în traducerea automată. La toate acestea trebuie să adăugăm articolul lui S. C. Kleene din 1956, privind reprezentarea evenimentelor în rețele nervoase și în automate finite, în ordinea de idei inaugurată de articolul din 1943 al lui W. S. McCulloch și E. Pitts, asupra unui calcul logic al ideilor implicate în activitatea nervoasă.

Cum puteam rămâne indiferent la noile evoluții?

Să rezumăm. Dezvoltări din direcții foarte diferite fac joncțiunea în a doua parte a anilor ’50, aducând într-o albie comună discipline dintre cele mai diverse: lingvistica, psihologia (Chomsky consideră lingvistica generativă un capitol al psihologiei cognitive), calculatoarele, matematica, logica și biologia; dar prin teoria informației, în plin elan atunci, s-a făcut legătura și cu fizica, în special cu termodinamica. Inutil să mai adăugăm că filozofia se afla în fața unor provocări fără precedent. Evenimentele enumerate aveau loc într-un moment în care se năștea informatica în România, sub bagheta extraordinarului dirijor de energii creatoare care a fost Grigore C. Moisil. Și pentru că, vorba poetului, toate aceste lucruri trebuia să poarte un nume, s-au inventat diverse etichete, una dintre ele fiind lingvistica matematică. Sintactic, nu putem alătura decât doi termeni; dar era clar că noile preocupări nu combinau numai două domenii, ci mai multe. Marea noutate consta în faptul că se aflau împreună cel puțin șase discipline, dintre care trei din domeniul socio-uman. Se mai aflau împreună știința și ingineria. Polaritatea pascaliană “spiritul de geometrie, spiritul de finețe” și contrastul dintre cele două culturi, la care se referea C. P. Snow, primeau o provocare fără precedent. Ne aflam în plină transdisciplinaritate.

Cum puteam rămâne indiferent la aceste evoluții? Am intrat în joc. Am simțit că unor energii care așteptau de mult să se dezlănțuie le-a venit ceasul. Într-un timp record, m-am inițiat în lingvistica structurală, disciplină prin care te apropiai de noile preocupări din direcția lingvisticii. Am fost ajutat în această privință de discuțiile cu Emanuel Vasiliu, cel mai apropiat de logică și de matematică, dintre lingviștii români ai acelui moment, și de Paula Diaconescu, entuziasta cercetătoare în analiza structurală a limbii române; amândoi, de la Catedra de limba română a Universității din București, catedră condusă de Profesorul Alexandru Rosetti. Lor, li s-au adăugat ulterior Edmond Nicolau și Sorin Stati. Între Rosetti și Moisil a existat o atracție magnetică, ei au încurajat și sprijinit o colaborare față de care cei mai mulți se arătau sceptici. Sprijinul lor, la Universitate și la Academie, a permis României să fie una dintre primele țări în care s-au ținut cursuri universitare de lingvistică matematică și computațională și în care s-a înființat o revistă de profil, în limbi internaționale.

Un loz câștigător

Drept rezultat, a urmat o dezvoltare vertiginoasă, oglindită parțial în recentul volum Grigore C. Moisil and his followers in theoretical computer science (Ed. Academiei Române, 2007).

În această atmosferă, am redactat cursul de lingvistică matematică pe care Editura didactică și pedagogică mi l-a publicat în 1963, cu rezerva considerată normală față de o întreprindere aparent hazardată. Entuziasmul mă împiedica să sesizez caracterul aparent utopic al traseului pe care mă angajam. Cursul se baza în bună măsură pe cercetările mele personale, publicate în reviste. Pentru a mă testa, am trimis cartea la câteva adrese universitare potențial interesate într-o atare aventură. A fost un loz câștigător. A urmat publicarea ei la New York, la Paris, la Moscova și la Praga. Marile enciclopedii Brockhaus, Encyclopaedia Universalis, Enciclopedia Einaudi, Great Soviet Encyclopedia, Encyclopedia of Mathematics și numeroase enciclopedii de lingvistică, de cibernetică, de informatică au menționat una sau alta dintre versiunile cărții. Trăiam astfel o experiență nouă, nu mai rămâneam cantonat într-un domeniu cu granițe destul de precise, ci mă aflam pe un traseu transdisciplinar, care mă obliga să învăț nu numai lingvistică, ci și biologia sistemului nervos, biologia eredității, logica, psihologie cognitivă, structura limbajelor de programare și anumite capitole de matematică discretă care nu erau pe linia antrenamentului meu anterior, din studiul funcțiilor reale și al topologiei generale.

Am simțit tot timpul, în această nouă etapă, sprijinul Profesorilor Rosetti, Moisil și Miron Nicolescu. Atunci am descoperit faptul că, prin interacțiune cu disciplinele socio-umane, matematica și calculatoarele dobândesc, pentru un public destul de larg, o valoare culturală.

În fața unei noi provocări

În perioada inițială a activității mele de cercetare, în care eram preocupat exclusiv de probleme de analiză matematică, mă mulțumeam să comunic despre ele numai cu matematicieni. De îndată ce am trecut la o activitate transdisciplinară, am devenit un interlocutor interesant pentru persoane din toate domeniile, inclusiv pentru scriitori, pentru filozofi și pentru gazetari. Toți mă asaltau cu întrebări care trădau mirarea lor față de o posibilă legătură între matematică și calculatoare, pe de o parte, și lingvistică, biologie și psihologie, pe de altă parte. Descoperam astfel din nou singurătatea matematicianului. Școala nu le dăduse nicio idee despre alte conexiuni ale matematicii decât cele cu fizica (și chiar despre acestea, informația era derizorie). Interlocutorii mei, de multe ori oameni cu o bogată cultură, nu-și imaginau că matematica ar putea fi și altceva decât un șir de calcule cu impact preponderent ingineresc și se mirau aflând că în matematică mai sunt multe probleme care-și așteaptă răspunsul și că mereu apar probleme noi. Posibilitatea unei matematici a calității, a structurii, li se părea în conflict cu natura ei. Dealtfel, am constatat că și despre lingvistică reprezentarea multora era derizorie, nu-și imaginau că această știință are și altceva de făcut decât stabilirea normelor de vorbire și scriere corectă.

Matematica: o unealtă utilă uneori

Prin anii 1950-1951, eram și asistent la cursuri de matematică de la Politehnica bucureșteană, la Electrotehnică, la Energetică și la Chimie industrială. Într-o zi, sunt invitat de Profesorul Spacu, decan la Chimie, care-mi atrage atenția că seminarul meu este prea teoretic. “Din matematică, chimia nu are nevoie decât de puțin peste regula de trei”. Cursul la care făceam seminarul era ținut de Profesorul Racliș, care mă pusese în gardă chiar de la prima întâlnire: “să nu cumva să încerci să faci demonstrații, că ești un om pierdut!” L-am urmărit cu atenție; enunțurile erau validate prin expresii de tipul “se vede pe figură că…” Figurile erau executate cu crete colorate și impresionau prin acuratețe. Accentul cădea pe procedee, descompuse în pași caligrafiați și numerotați cu grijă pe tablă. Cred că a fost unul dintre cele mai apreciate cursuri. Nu m-am putut încadra în această conduită și am părăsit Politehnica, pentru a mă dedica în întregime activității mele la Universitatea din București, ca asistent al Profesorului Miron Nicolescu. De atunci, am urmărit cu atenție statutul matematicii în învățământul ingineresc. În urmă cu vreo 20 de ani, în cadrul unor dezbateri pe această temă, se cristalizaseră două puncte de vedere. Pentru unii, ca Profesorul Dorin Pavel, gândirea inginerească nu se formează prin matematică iar rolul acordat matematicii la admiterea în Politehnică și pe parcursul studiilor este exagerat. Nici Profesorul D. Drimer nu părea a fi departe de acest punct de vedere. Pentru ei, matematica în inginerie era o simplă unealtă, utilă uneori. Nimic mai mult. Cu o altă ocazie, și Profesorul Remus Răduleț exprimase o opinie similară. Pentru alții, ca Profesorul Radu Voinea și Profesorul Alexandru Balaban, matematica este pentru inginer și un mod de gândire exemplar iar prezența matematicii la admiterea în Politehnică și pe parcursul studiilor trebuie întărită.

Matematică, de la unealtă la limbaj

Fizicienii teoreticieni obișnuiesc de multă vreme să considere funcția de limbaj a matematicii, cu referire la capacitatea acesteia de a da o expresie concentrată și riguroasă anumitor relații. Limbajul matematic este, de la Newton și Galilei încoace, modul de a fi al unor vaste capitole ale fizicii. Dezvoltarea teoriei ecuațiilor diferențiale s-a aflat într-un metabolism permanent cu dezvoltarea fizicii. Ecuațiile diferențiale și cele integrale au devenit modul predominat de exprimare a legilor fizicii. În secolul al XX-lea, ca urmare a dezvoltării teoriei relativității și a mecanicii cuantice, în “jocul” dintre fizică și matematică mingea este mereu și mereu pe terenul matematicii; limbajul matematic nu mai este simțit aici ca rezultat al unei operații de traducere a unor situații nematematice, rezultând din observație și experiment, ci devine pur și simplu modul de existență al fenomenelor fizice. 

Apropierea dintre economie și matematică are o istorie de câteva secole. În secolul al XX-lea și mai ales în a doua jumătate a acestuia, limbajul matematic a devenit modalitatea predominantă de exprimare a fenomenelor economice, fapt oglindit de un mare număr de premii Nobel în economie acordate unor lucrări foarte matematizate. Acest fapt nu este străin de apariția și dezvoltarea teoriei jocurilor de strategie, având ca protagoniști pe John von Neumann, Oskar Morgenstern și John Nash.

Un alt domeniu în care matematica a pătruns în mod masiv este biologia. În prima jumătate a secolului al XX-lea a avut loc o utilizare mai degrabă sub formă de unealtă a ecuațiilor diferențiale, a teoriei probabilităților și statisticii matematice. În a doua jumătate a secolului trecut, studiul sistemului nervos și al eredității a beneficiat de o pătrundere masivă a limbajului matematic, rezultat din dezvoltarea combinată a matematicii, biologiei și informaticii.

De vreo jumătate de secol, la ingineria energiei, bazată în primul rând pe matematici continue, s-a adăugat ingineria informației, care face apel în primul rând la matematici discrete. Granița dintre știință și inginerie devine tot mai problematică. De la teza de doctorat a lui Shannon, de la sfârșitul anilor ’30 ai secolului trecut, logica matematică și ingineria intră în conexiune directă iar limbajul matematic a devenit esențial pentru disciplinele informației.

În intimitatea limbajului matematic

De la limbaj i se trage, în primul rând, matematicianului, singurătatea în care se află, deci merită să-i acordăm o atenție specială.

Există realmente un limbaj matematic, sau este vorba aici de o simplă metaforă? Când se pretinde că Jean-Jacques Rousseau s-a servit de limbajul matematic pentru a explica teoria sa asupra guvernării (Marcel Françon, “Le langage mathématique de Jean-Jacques Rousseau”, Isis 40 (1949), 341-344), despre ce anume este vorba? În primul capitol din cartea a treia a Contractului social, Rousseau își propune să studieze diferite tipuri de relații și forțe intermediare implicate în actul guvernării. Pentru a se face mai clar și mai sugestiv, recurge la o utilizare metaforică a rapoartelor și proporțiilor din algebra elementară. O metaforă de același tip avea să fie folosită în urmă cu vreo 30 de ani de Samuel Huntington, într-o carte a sa de științe politice. Sintagma limbaj matematic este, de cele mai multe ori, folosită la modul metaforic, pentru a numi o utilizare locală, pasajeră, a unei analogii cu un termen sau cu un simbol matematic; alteori, dar la fel de abuziv, se desemnează prin această sintagmă folosirea locală a unei anumite formule, într-un text care, în cea mai mare parte a sa, nu are nimic comun cu matematica. 

Dar nici termenul de limbaj luat singur nu este mai puțin echivoc. Predomină utilizările sale metaforice sau echivalarea sa cu un sistem arbitrar de semne. În consecință, expresii ca limbajul florilor sau limbajul culorilor rămân fără acoperire, dar acceptate ca metafore. În ce condiții devine limbaj un anume sistem de semne, iată o problemă foarte controversată, pe care nu o putem discuta aici. Cercetări mai aprofundate au condus la ipoteza general acceptată, conform căreia sistemul de semne folosit în matematică are cele mai multe trăsături ale unui limbaj. Ca orice sistem de semne, un limbaj este dotat cu trei niveluri: sintactic, semantic și pragmatic. Limbajelor li se mai cere, de obicei, să aibă o structură secvențială. Această condiție nu prea este îndeplinită de limbajul matematic, în a cărui țesătură intervine, după cum a observat Josh Ard, o dinamică de tipul montajului vertical la care se referea Eisenstein în legătură cu filmul. Dar să vedem din ce anume este alcătuit limbajul matematic.

Componentele limbajului matematic

  1. Limbajul natural (predominant în varianta limbii engleze);
  2. Elemente ale limbajului natural, folosite ca simboluri artificiale ($a$, $b$, $c$, $x$, $y$, $A$, $B$, $\sin$, $dy/dx$, $\pi$, $\epsilon$, $G$, $\Sigma$, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ etc);
  3. Simboluri, altele decât cele de la 2): $0$, $1$, $2$, $3$, …, simbolurile de disjuncție și de conjuncție logică, cele de reuniune, intersecție și incluziune relative la mulțimi, simbolul de apartenență al lui Peano, simbolul integralei etc.;
  4. Expresii, relații, formule, ecuații etc. formate cu ajutorul entităților de la 2) și 3);
  5. Reprezentări pictoriale discrete (grafuri, matrici, diagrame etc);
  6. Reprezentări pictoriale continue (curbe, suprafețe etc);
  7. Programe de calculator;
  8. Metasisteme simbolice, cum ar fi limbajul programabil de printare TeX (după grecescul techné, asociat cu latinescul texere) și cu derivatele sale, ca AMS-TeX și LaTeX, care, sub forma unor comenzi, reglementează tipărirea textelor matematice;
  9. Componenta orală a matematicii.

Câteva observații sunt necesare. Componenta semnalată la 1 este cea mai importantă, deoarece limbajul natural direcționează întregul comportament al limbajului matematic. Gândim prin intermediul limbajului natural, chiar atunci când ne prevalăm de celelalte componente. Se preconizează, ca o medie, un echilibru prin care jumătate dintr-un text matematic rămâne scris în limbaj natural. Nu trebuie confundat limbajul matematic cu limbajul axiomatic deductiv sau cu cel formalizat. Matematica nu este și (știm acum) nu poate fi în întregime formalizată. Este uimitor felul în care toate aceste imperative de igienă a educației sunt ignorate în matematica școlară, în diferitele ei variante: manuale, predare la clasă, reviste pentru elevi, examene, concursuri. Reducem educația la aspectul ei sintactic, ignorând dimensiunea ei semantică. Dar semnificațiile se exprimă în cuvinte; pentru a le înțelege și exprima trebuie să construiești un discurs. Este exact ceea ce școala nu reușește. Acest eșec se transmite de la școală la universitate și de la universitate în cercetare; modul în care ideile matematice sunt asimilate și utilizate este profund afectat de această înțelegere fragmentară a lor.

Prezența componentelor 2, 3 și 4 arată că limbajul matematic are o structură mixtă, fiind alcătuit dintr-o componentă naturală și alta artificială. Știm acum că în componenta artificială se regăsesc toate funcțiile componentei naturale: metaforă, metonimie, ambiguitate, relații de coordonare și de subordonare etc. Ca urmare a prezenței componentelor 4, 5 și 6, limbajul matematic devine bidimensional și, uneori, tridimensional. O liniarizare forțată răpește matematicii din forța sa euristică și sugestivă. Să mai observăm că limbajul matematic se prevalează atât de reprezentări discrete cât și de reprezentări continue. Fiind un limbaj scris, el este esențial vizual. Componenta 9 are în vedere prezentarea orală a matematicii, care are alte reguli decât cea scrisă: nu dezvoltarea detaliilor, ci sublinierea ideilor, a contextului cultural-istoric, a cotiturilor periculoase. Prezentarea orală atenuează liniaritatea discursului scris, prin distribuirea mai nuanțată a accentelor. Dar, după cum observă Dan Barbilian, un rezultat matematic nu se poate valida decât pe baza formei sale scrise.

Funcțiile limbajului matematic

Putem acum să contemplăm, în toată splendoarea sa, această cucerire a spiritului uman care se numește limbajul matematic.

Acest limbaj exploatează sinonimia sa infinită. Orice enunț se poate reformula într-un mod echivalent. Demonstrațiile se bazează pe această parafrazare potențial infinită a ipotezelor, proces care duce, după un număr finit de pași, la concluzia dorită. În această activitate, sunt folosite deopotrivă relații anaforice și cataforice. Este manifestă tendința de reducere a fenomenelor de omonimie, dar nu se poate ajunge la anihilarea lor totală. Caracterul esențial metaforic al limbajului matematic provine în primul rând din procesele de generalizare. De exemplu, trecerea de la numere raționale la cele iraționale, în cazul de referință al evaluării lungimii diagonalei unui pătrat cu latura egală cu unitatea, s-a bazat pe căutarea unui număr care să se afle față…