Provocarea lui Claude Lévi-Strauss

În 1978, am editat la Klincksieck (Paris) lucrarea colectivă La sémiotique formelle du folklore; Approche linguistico-mathématique, care a trezit interesul Profesorului Pierre Maranda, directorul Departamentului de Antropologie culturală al Universității Laval (Québec). Am fost invitat acolo cu un scop precis: să reflectez asupra unei formule pe care o lansase Claude Lévi-Strauss în 1955, dar care își păstrase de-a lungul anilor caracterul ei enigmatic. În trei ani succesivi, de fiecare dată câte patru luni, am venit la această Universitate, pentru a mă cufunda în cercetarea operei lui Lévi-Strauss. Formula sa avea aerul unui enunț matematic, dar aparența era înșelătoare. Într-o terminologie teatrală, ea spunea, în esență, că un actor a în rolul x se află față de un alt actor b, aflat în rolul y, într-o situație asemănătoare celeia în care s-ar afla b în rolul x față de rolul y, devenit actor interpret al unui rol $a^{-1}$ obținut prin inversarea actorului a. Se observă că are loc o dublă răsucire, prima privește transformarea rolului y în actor, iar a doua constă în transformarea, prin inversiune, a actorului a în rolul $a^{-1}$. Timp de câteva decenii, nimeni nu a înțeles nimic din acest enunț. Nici măcar autorul acestei pretinse formule nu dădea impresia că-și mai aduce aminte de ea.

Dar anumite amintiri îndemnau la precauție. Nici infinitii mici ai lui Leibniz nu au fost înțeleși iar neînțelegerea s-a risipit abia după vreo trei sute de ani, prin analiza non-standard a lui Abraham Robinson. Pe de altă parte, acum știm că antropologul căruia îi vom marca centenarul în acest an a devenit un termen de referință pentru evoluția ideilor în secolul al XX-lea. În anii ’40, când se afla în Statele Unite, i-a propus unui tânăr matematician, André Weil (azi recunoscut drept unul din geniile matematice ale secolului trecut), o problemă privind regulile de căsătorie în societățile primitive. Răspunsul, sub forma unui articol de câteva pagini, a constituit nașterea unui nou domeniu: matematica relațiilor de rudenie. Lévi-Strauss a demonstrat că, deși cultura sa matematică este săracă, poate chiar derizorie, potențialul matematic al ideilor sale este imens. Eram avertizat că dispune de o extraordinară capacitate de a adresa întrebări esențiale.

De la mituri la literatură și la matematică

Literatura a apărut, în tradiția occidentală, pe vremea lui Homer, deci cu câteva secole înaintea matematicii (Thales și Pitagora). Amândouă sunt, într-un anume sens, fiice ale miturilor, de la care au preluat funcția de simbolizare și situarea într-un univers de ficțiune, care mediază relația cu lumea reală. Într-o etapă destul de târzie a evoluției lor, literatura mai întâi, matematica ulterior, s-au prevalat de un alt aspect al miturilor: transgresarea a ceea ce numim azi logică tradițională, prin încălcarea unuia sau altuia dintre cele trei principii: de identitate, de necontradicție și cel al terțului exclus. Drept urmare, toate trei practică paradoxul, la diferite niveluri: sintactic, semantic sau pragmatic. O consecință inevitabilă a acestei situații este conflictul cu intuiția curentă, decalajul dintre ceea ce este inteligibil și ceea ce este vizibil. Toate trei se află sub semnul unor așteptări frustrate. Toate trei dezvoltă un principiu de optimizare semiotică: maximum de gând în minimum de cuprindere (pentru a folosi o expresie a lui Dan Barbilian, în legătură cu Gauss). O altă trăsătură comună privește principiul holografic: în anumite condiții, aspectul local, individual, poate da seamă despre aspectul global. În mituri, există o legătură strânsă între persoană și univers, între anthropos și cosmos. În literatură, clipa poate da seamă despre eternitate, un copac dă seamă despre toți copacii lumii. William Blake vede lumea într-un grăunte de nisip iar eternitatea într-o oră. În matematică, putem deduce comportamentul global al unei funcții analitice din comportamentul ei local. Așa s-a ajuns să se enunțe ipoteza structurii holografice a creierului uman și a universului. O altă trăsură comună este prezența elementului ludic; alta se referă la prezența metaforei. Am mai putea vorbi despre prezența infinitului și despre depășirea, într-un fel sau altul, a cadrului euclidian. Dar ne oprim aici.  

Matematică: spiritualitate, libertate, gratuitate

Iată deci un tablou mai puțin, dacă nu deloc cunoscut al matematicii. Desigur, dincolo de aceste analogii între matematică, pe de o parte, mituri și literatură, pe de altă parte, putem dezvolta un întreg șir de deosebiri între ele; dar aceste deosebiri nu pot fi înțelese corect decât în contextul elementelor comune, esențiale pentru situarea istorică a matematicii ca fenomen de cultură.

Mai întâi, urmărind firul dezvoltării matematicii la vechii greci, constatăm caracterul predominant spiritual al ei, vocația contemplării unor armonii de forme și arhetipuri. Inventarea teoremei este o achiziție spirituală care, numai ea singură, ar fi suficientă pentru a asigura prestigiul peste milenii al culturii vechilor greci. La Pitagora, matematica și muzica sunt inseparabile, amândouă raportate deopotrivă la cosmos și la arhitectura spiritului uman. Numerele, intervalele muzicale și mișcarea corpurilor cerești conduc la ceea ce s-a numit muzica sferelor. Cele cinci tipuri de poliedre regulate puse în evidență de Platon sunt entități la fel de fundamentale ca dreapta, cercul, pătratul și sfera, la Euclid, și fac parte din viziunea lui Platon asupra matematicii ca reprezentare a universului. Le găsim în mituri, în diferitele religii, în simbolismul artelor și în rezultatele fundamentale ale științei. Numărul prim, șirul lui Fibonacci, proporția de aur, ideile de grup, de mulțime ordonată, de spațiu topologic, banda lui Möbius, sticla lui Klein, noțiunea de infinit mic, la Leibniz, și universul non-standard al lui Robinson rezumă structuri, prototipuri și procese sau comportamente cu valoare universală. De aceea pot apărea deopotrivă în natură și în cultură, în știință și în artă, în natura inertă și în cea vie. Pentru cultura vechilor greci, Platon reprezintă cea mai înaltă expresie a matematicii ca aspect fundamental al spiritului uman. Pentru Aristotel, discipolul lui Platon, matematica nu este o parte a științei și nu este subordonată acesteia; matematica se ocupă de obiecte al căror interes este de sine stătător și care admit o motivare estetică.

Spiritualitatea matematicii: secolele XIII-XVII

Sf. Augustin (354-430) preluase de la Platon fascinația pentru numere iar de la Euclid metoda de procedare axiomatic-deductivă. Această metodă avea să fie urmată de teologia catolică până spre secolul al XVII-lea. Dar nu numai teologia, ci și alte discipline au urmat aceeași cale; a se vedea Etica lui Spinoza (1632-1677) și mecanica newtoniană. Duns Scotus (secolul al XIII-lea) se ocupă de problema existenței și infinității lui Dumnezeu, folosind procedee care prefigurează noțiuni din ceea ce azi numim teoria mulțimilor ordonate. Nicolaus Cusanus (1401-1464) vede în matematică unicul mod de a ajunge la certitudine. Ca și Descartes, mai târziu, Cusanus adoptă ipoteza unui Univers indefinit (nu infinit). N. Copernic (1473-1543) propune, în lucrarea sa privind mișcările de revoluție ale sferelor cerești (1540), un model matematic al heliocentrismului. Opera lui Copernic a rămas în primul rând pentru valoarea ei științifică, dar și calitatea ei literară este remarcabilă; este un poem dedicat Soarelui și Cercului.

În perioada Renașterii (secolul al XV-lea) are loc o alianță fericită între artele vizuale și matematică, prin nume ca Leonardo da Vinci, Brunelleschi, Alberti, Albrecht Dürer, Piero della Francesca și Bombelli. Se realizează astfel un progres substanțial în înțelegerea perspectivei (reprezentarea spațiului cu trei dimensiuni în cel cu două dimensiuni).

Galileo Galilei (1564-1642), prin Il Saggiatore, Sidereus Nuncius și mai cu seamă prin opera sa Dialog se înscrie în istorie drept unul dintre părinții științei moderne, prin recunoașterea rolului central al matematicii în înțelegerea lumii. Dar, după cum au atras atenția Leopardi și Italo Calvino, prin aceleași opere Galilei rămâne și ca unul dintre marii scriitori în proză ai Italiei. Un alt savant dublat de un scriitor este Johannes Kepler (1571-1630), care în Astronomia Nova (1609) face apel la cele cinci tipuri de poliedre ale lui Platon pentru a studia interacțiunea dintre om și cosmos. Kepler demonstrează că traiectoriile planetelor nu sunt circulare, cum se credea, ci eliptice; sunt astfel aduse în atenție secțiunile conice ale lui Apollonios de Perga (262-180). Pasul următor: Isaac Newton (1642-1727) descoperă legea atracției universale (1687).

René Descartes (1586-1650) preconizează o știință unificată, având ca model matematica. Asemenea lui Galilei, Descartes crede că matematica este cheia care deschide drumul spre o imagine globală, unificată și coerentă a lumii. Plecând de la matematică, Descartes s-a simțit proiectat în fizică, filozofie, psihologie, fiziologie și cosmologie, în toate acestea devenind un pionier. În Discurs asupra metodei, Descartes strălucește nu numai prin deducție filozofică, ci și prin aspectul literar.

Spiritualitatea matematică: secolele al XVIII-lea și al XIX-lea

În Convorbirile sale cu Eckermann, Goethe are unele reflecții privind matematica. Într-una dintre ele, consideră că matematica este o artă care ar trebui să se declare independentă de ceea ce îi este exterior, pentru a-și urma marele ei traseu spiritual, capabil să cuprindă mai mult decât înțelegerea lumii comensurabile și măsurabile. Pe de altă parte, Kant consideră că matematica este o știință, dar o știință a spiritului (Geisteswissenschaft), ceea ce îl apropie de poziția lui Goethe, deoarece amândoi sunt de acord că matematica nu-și are locul alături de științele naturii (Naturwissenschaften). Tot Kant consideră că partea cea mai profundă a matematicii este aceea care este cultivată ca fiind interesantă în sine, deci pentru propria ei plăcere. Matematicianului nu-i poate rămâne lipsit de interes faptul că anumite situații paradoxale, care au intrat în raza de preocupări a matematicii abia spre sfârșitul veacului al XIX-lea, au apărut mult mai devreme în literatură. De exemplu, în secolul al XVIII-lea, Laurence Sterne, în Tristram Shandy, recurge la situații autoreferențiale iar, în secolul al XIX-lea, Lewis Carroll se prevalează sistematic de paradoxuri în Alice în Wonderland și în Through the Looking-Glass. Dar de această dată este vorba de un profesor de matematică (Charles Dodgson, alt nume al lui Lewis Carroll); acesta este pasionat de jocul cu probleme de matematică și de logică, pe care le introduce într-o formă paradoxală în literatura sa debordând de imaginație. Într-un fel, îl putem considera pe Lewis Carroll ca un precursor al literaturii absurdului, deoarece îi introduce de multe ori pe cititori într-o lume a haosului și a lipsei de sens. În secolul al XIX-lea, George Boole este atras de problemele cunoașterii iar lucrarea sa devenită clasică se intitulează Investigații asupra legilor gândirii. Proiectul său de articulare a logicii, algebrei, limbajului și gândirii era clar o încercare temerară de pătrundere în arhitectura spiritului uman. Am aflat astfel că o condiție necesară pentru realizarea corespondenței urmărite de Boole este natura binară a cadrului algebric considerat. Așa se face că numele lui Boole a rămas în memoria colectivă a matematicienilor asociat cu binaritatea. Boole îl continuă pe Leibniz, de aceea Leibniz trebuie și el introdus în această mare tradiție spirituală a matematicii. În Hard Times (1854), Charles Dickens se folosește de un studiu al lui Sissy Jupe privind proporțiile, pentru a protesta contra entuziasmului unor contemporani ai săi pentru analiza aritmetică și statistică a condițiilor economice și sociale din industria engleză. În secolul al XIX-lea, sub influența geometriilor neeuclidiene, literatura a preluat unele preocupări privind lumile cu mai multe dimensiuni. În Flatland (1884), Edwin Abbott introduce un narator care trăiește într-un univers bidimensional. Apare o sferă și naratorul încearcă să-și convingă cetățenii de existența celei de a treia dimensiuni, dar este arestat. Progresul nu este acceptat.  

Dubla singurătate a matematicii

Matematicianul are nevoie de singurătate pentru a se proteja. Nu este vorba de liniștea necesară oricărei activități intelectuale, ci de faptul că, preluând o anumită întrebare, el o transformă, pentru a-i da un sens. Autorul întrebării, un inginer, un fizician, un economist, un lingvist sau altcineva, se simte de multe ori frustrat, el are impresia că problema lui a fost înlocuită cu o alta. Dintr-o dată, are loc o despărțire de lume, se naște o suspiciune. De aici și gluma conform căreia un matematician îți rezolvă orice problemă…, în afară de aceea care te interesează. Să-l cităm, într-o traducere aproximativă, pe Goethe (tot din Convorbirile cu Eckermann): “Matematicienii sunt ca francezii; le propui o problemă, ei o trec pe limba lor și mai departe nu mai înțelegi nimic”. De aici, s-a dedus uneori că Goethe nu-i agrea pe matematicieni. Este însă mai potrivit să credem că autorul lui Faust avea o profundă înțelegere a naturii activității matematice, în care se manifestă un mod specific de a distinge un enunț cu sens de unul fără sens și o percepție specială a demarcării dintre claritate și obscuritate. Mai este apoi faptul că, instinctiv, matematicianul caută să se folosească de acele părți ale matematicii care-i sunt familiare, deci modul de a da un sens unei întrebări depinde și de tipul culturii sale matematice. Structurile, formele, tiparele, formațiunile matematice de orice fel se îmbogățesc mereu și sunt apte, prin generalitatea și varietatea lor, de a găzdui idei dintre cele mai diverse; iar, dacă imaginația sa este suficient de bogată, el va îmbogăți repertoriul existent cu formațiuni noi.

Dar, concomitent cu singurătatea care-l are pe el ca autor, matematicianul trăiește singurătatea pe care matematica o resimte în viața socială. Începând cu anii de gimnaziu, cei mai mulți elevi resping ceea ce li se propune sub eticheta matematicii, rămânând pe viață marcați de această experiență negativă. Dacă se mai întâlnesc cu ea, în studenție sau profesie, este vorba de aspectul unealtă, sub forma unui algoritm, a unei formule, a unei reprezentări grafice de care se prevalează la un anumit moment, într-un itinerar care, în ansamblu, nu este de natură matematică. Într-un caz mai fericit, dar destul de rar, apare nevoia de a face apel la matematică-limbaj, deci nu numai la o utilizare locală, ci la una care angajează, pe un întreg parcurs, folosirea limbajului matematic, dacă nu în toate cele 9 componente ale sale, măcar cu o parte a lor. Pariul educației matematice se referă la faptul că modul de gândire pe care-l oferă această disciplină are o valoare universală, deci este folositor în orice altă disciplină și în orice domeniu al vieții. În momentul de față, ne aflăm la o distanță astronomică de împlinirea acestui deziderat. Concludent este și faptul că, ajunși la vârsta a treia, cei mai mulți nu-și amintesc din matematică nicio idee, niciun fapt cu semnificație culturală; numai unele cuvinte-sperietoare, ca logaritm, sinus sau rădăcină pătrată, le mai apar în memorie, ca un vis urât. Izolarea socială și culturală a matematicii este gravă.

La ora pașilor peste granițe

Matematica este aruncată în derizoriu de modul în care se face educația ei și de percepția ei publică. Faptul acesta iese în relief de îndată ce, prin contrast, luăm în considerare complexitatea culturală și datele istorice privind potențialul spiritual al matematicii, pe care ne-am străduit să le configurăm. Ele ne ajută să înțelegem de unde anume vin bogăția intelectuală, forța artistică, universalitatea în cuprindere și capacitatea de seducție a matematicii, atunci când aceasta rămâne autentică și nu înlocuită cu o caricatură a ei. Deocamdată însă, toate aceste comori rămân ascunse, chiar inexistente, în educație, în percepția publică, în cultură, în orizontul celor mai mulți intelectuali. Nici măcar cei care, prin profesie, au contact cu partea instrumentală a matematicii (fizicieni, ingineri, economiști etc.), de cele mai multe ori nu ajung la aerul tare al marilor spectacole pe care le oferă matematica. Așa cum am încercat să arătăm, limbajul nu este decât unul dintre multele aspecte ale matematicii, dar și acest aspect este sesizat numai prin câteva dintre numeroasele sale componente și funcții. Ce s-a preferat, în schimbul celor de mai sus? S-a restrâns educația matematică la o așa-zisă funcție utilitară, înțeleasă ca un ansamblu de procedee de operare, care ar avea legătură cu problemele practice și cu celelalte discipline. Realitatea este însă alta. Metabolismul matematicii cu celelalte domenii este aproape inexistent în educație iar viața cotidiană nu de formule are nevoie, ci de deprinderi de gândire în etape, pe care matematica ni le inoculează; când, totuși, prin aplicarea unei simple formule învățate la școală, jucătorii la loterie și-ar putea evalua șansele de câștig, se constată că cei mai mulți nici măcar nu-și amintesc de existența ei. Matematica își extrage probleme de peste tot. Am putea chiar spune că cele mai interesante aspecte sunt cele care apar la interfața matematicii cu restul lumii. Spre această zonă mi-am orientat o bună parte din cercetări. Am dat exemplul formulei canonice a mitului. În ultimii 30 de ani, de când autorul ei a revenit la ea, accentuându-i relevanța, faptul că ea se află în raport cu miturile într-o relație asemănătoare celeia în care miturile se află în raport cu viața, cercetarea formulei respective s-a intensificat și câteva sinteze dau seamă despre aceste căutări. Punctul de vedere al matematicii nu a lipsit, mergând de la logică și algebră la matematica morfogenezei, a lui René Thom. Dar în ce a constat aici rolul matematicii? S-au propus lumi alternative, coerente, în cadrul cărora intuițiile lui Lévi-Strauss capătă un statut conceptual. Nu atât despre teoreme este vorba, ci de metafore matematice a căror relevanță antropologică va fi pusă mereu în discuție. Matematica se află la ora pașilor peste granițe, la care se raporta Werner Heisenberg, într-o celebră carte a sa.  

De la izolarea matematicii la universalitatea ei

Dacă aventura lingvistică a matematicii avea predecesori iluștri, de la Newton și Leibniz la Kolmogorov și Dobrușin; dacă asocierea ei cu arta s-a aflat în atenția lui G.D. Birkhoff, A.N. Kolmogorov și H.S.M. Coxeter (pentru a ne referi la secolul al XX-lea); dacă imixtiunea matematicii în antropologie îl avea ca inițiator pe unul dintre cei mai importanți matematicieni ai secolului al XX-lea, André Weil, noul domeniu, semiotica, spre care aveam să mă îndrept în anii ’70 ai secolului trecut, purta girul celui mai important matematician american al secolului al XIX-lea, Charles Sanders Peirce. Este vorba de un punct de vedere care-și are originea la vechii greci, trece prin teologia catolică a Evului Mediu și se regăsește la Leibniz, pentru a schița o mică parte din itinerarul acestei discipline a modului de generare și transformare a semnelor. Între matematică și semiotică legătura este atât de naturală, încât apare tentația de a o considera pe prima drept o ramură a celei de-a doua. Cu toate acestea, în mod paradoxal, la începutul anilor ’70 ai secolului trecut, când semiotica a căpătat o bază instituțională, nu matematicienii, ci lingviștii, literații și artiștii au fost cei mai activi în promovarea studiilor de semiotică. Ulterior au apărut și biologii, informaticienii, matematicienii etc. Dar, ca urmare a activității mele anterioare în lingvistică, am trecut ușor la noua orientare iar Umberto Eco m-a invitat ca raportor la Primul Congres al Asociației Mondiale de Semiotică, pe care-l organiza în 1974, la Milano. Semiotica s-a dovedit a fi liantul de care aveam nevoie pentru a facilita legătura dintre ideile matematice, pe de o parte, și problemele provenite din biologie, informatică, psihologie, literatură, economie, lingvistică, istorie, relații internaționale etc., pe de altă parte. Un moment important, în această direcție, a fost Seminarul combinat de matematică, genetică moleculară, lingvistică și informatică pe care l-am organizat la Institutul de lingvistică al Americii (Buffalo, New York, 1971).

Numai câțiva ani mai târziu, în 1976, am devenit șeful echipei Universității din București în cadrul Proiectului Universității Națiunilor Unite (Tokyo) Obiective, procese și indicatori de dezvoltare. Dialogul cu specialiști din alte domenii, din câteva zeci de țări, pe care mi l-a prilejuit, timp de vreo șapte ani, acest experiment a avut un rol decisiv în antrenamentul meu transdisciplinar iar în anii ’80 întreaga cunoaștere îmi apărea unitară și devenisem foarte conștient de daunele lipsei de comunicare dintre discipline. Dar să nu uităm că încă în prima jumătate a secolului trecut ideea unei unificări a cunoașterii revenise puternic, dominând preocupările Cercului din Viena; Rudolf Carnap susținea că nu există decât o singură știință.

Mi s-a configurat astfel capacitatea matematicii de a fi un catalizator al transferurilor de idei, concepte și rezultate între domenii dintre cele mai diferite. Nu cumva tocmai izolarea la care este condamnată îi conferă matematicii universalitatea pe care nimeni nu i-o poate contesta?